3.4基本不等式≤(a≥0，b≥0)3.4.2基本不等式的应用A级基础巩固一、选择题1．若x＞4，则函数y＝x＋()A．有最大值－6B．有最小值6C．有最大值2D．没有最小值解析：y＝x－4＋＋4≥2＋4＝6.当且仅当x－4＝时，即x＝5时取得最小值6.答案：B2．设x，y∈R，且x＋y＝5，则3x＋3y的最小值是()A．10B．6C．4D．18解析：3x＋3y≥2＝2＝18，当且仅当3x＝3y，即x＝y＝时取等号．答案：D3．已知a＋b＝t(a>0，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于()A．2B．4C．2D．2解析：当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C.答案：C4．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a和b(a＜b)，其全程的平均时速为v，则()A．a＜v＜B．v＝C.＜v＜D．v＝解析：设甲地到乙地距离为s，则v＝＝，因为a＜b，所以＜⇒＞＝a，＜.答案：A5．若xy是正数，则＋的最小值是()A．3B.C．4D.解析：＋＝x2＋y2＋＋＋＝＋＋≥1＋1＋2＝4.当且仅当x＝y＝或x＝y＝－时取等号．答案：C二、填空题6．已知函数f(x)＝x＋(x>2)的图象过点A(3，7)，则此函数的最小值是________．解析：把A(3，7)代入函数关系式可得a＝4，因为x>2，所以x－2>0.故f(x)＝x－2＋＋2≥6，当x＝4时，取“＝”．答案：67．函数y＝的最小值是________．解析：令t＝≥1，则y＝＝t＋≥4，当t＝2，即x＝±时，ymin＝4.答案：48．已知三个函数y＝2x，y＝x2，y＝的图象都过点A，且点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，则log2m＋log2n的最小值为________．1解析：由题易得点A的坐标为(2，4)，因为点A在直线＋＝1(m>0，n>0)上，所以1＝＋≥2.所以mn≥16.所以log2m＋log2n＝log2(mn)≥4.故log2m＋log2n的最小值为4.答案：4三、解答题9．已知x≥，求f(x)＝的最小值．解：因为x≥，所以x－2＞0.所以f(x)＝＝＝(x－2)＋≥2.当且仅当x－2＝，即x＝3时，等号成立．故当x＝3时，f(x)min＝2.10．过点P(1，2)的直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△ABO的面积最小时，求直线l的方程．解：设A(a，0)，B(0，b)，则a＞0，b＞0，则l的方程为＋＝1.又因为l过P点，所以＋＝1，三角形的面积S＝ab.由＋＝1⇒ab＝b＋2a≥2⇒ab≥8，当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时，Smin＝4.所以l的方程为＋＝1，即2x＋y－4＝0.B级能力提升一、选择题11．已知向量a＝(x－1，2)，b＝(4，y)．若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()A．2B．12C．6D．3解析：因为a⊥b，所以a·b＝0，即4(x－1)＋2y＝0，即2x＋y＝2，所以9x＋3y≥2＝2＝6.当且仅当2x＝y＝1时取等号，所以最小值为6.答案：C12．已知M是定值，下列各条件中，ab没有最大值的条件是()A．a2＋b2＝MB．a，b∈R＋，且a＋b＝MC．a＜0，b＜0，且a＋b＝MD．a·b＜0，a＋b＝M解析：由ab≤及ab≤对任何实数a，b都成立，且a＝b时，等号成立，可知A、B、C三项均有最大值．但D项中不存在等号成立的条件，故D项没有最大值．答案：D13．已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．8解析：(x＋y)＝1＋＋＋a≥1＋2＋a＝(1＋)2.由(1＋)2＝9，解得a＝4.答案：B二、填空题14．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是________．解析：因为x＋2y＋2xy＝8，所以y＝>0.所以00)，则t>1，所以m≤－＝－对任意t>1成立．因为t>1，所以t－1>0.所以t－1＋＋1≥2＋1＝3.所以－≥－.当且仅当t－1＝，即t＝2，即x＝ln2时等号成立．所以实数m的取值范围是.3
