课时分层作业(八)等比数列的性质(建议用时：40分钟)一、选择题1．公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8A[法一：由a3a11＝16，即a1·22·a1·210＝16，且a1＞0，得a1＝.所以a5＝a1·24＝·24＝1.法二：由等比数列的性质，知a＝a3a11＝16.又数列{an}的各项都是正数，所以a7＝4.又a7＝a5×q2，则a5＝＝1.]2．已知等比数列{an}满足a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，则a3＋a5＋a7＝()A．21B．42C．63D．84B[ a1＝3，a1＋a3＋a5＝21，∴3＋3q2＋3q4＝21.∴1＋q2＋q4＝7.解得q2＝2或q2＝－3(舍去)．∴a3＋a5＋a7＝q2(a1＋a3＋a5)＝2×21＝42.故选B.]3．已知等比数列{an}中，an>0，a1，a99是方程x2－10x＋16＝0的两根，则a40a50a60的值为()A．32B．64C．256D．±64B[由题意得，a1a99＝16，∴a40a60＝a＝a1a99＝16，又 a50>0，∴a50＝4，∴a40a50a60＝16×4＝64.]4．在各项不为零的等差数列中，2a2017－a＋2a2019＝0，数列是等比数列，且b2018＝a2018，则log2的值为()A．1B．2C．4D．8C[因为等差数列中a2017＋a2019＝2a2018，所以2a2017－a＋2a2019＝4a2018－a＝0，因为各项不为零，所以a2018＝4，因为数列是等比数列，所以b2017·b2019＝a＝16.所以log2＝log216＝4，故选C.]5．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以为首项的等比数列，则1等于()A．B．或C．D．以上都不对B[不妨设是x2－mx＋2＝0的根，则m＝，其另一根为4，对方程x2－nx＋2＝0，设其根为x1，x2(x10，且lgan，lgan＋1，lgan＋2成等差数列，若a3a4a6a7＝4，则a5＝________.[ lgan，lgan＋1，lgan＋2成等差数列，∴a＝anan＋2，即为等比数列，∴a3a7＝a4a6＝a，从而a3a4a6a7＝a＝4，则a5＝±，又an>0，∴a5＝.]8．若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则lna1＋lna2＋…＋lna20＝________.50[因为a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，所以a10a11＝e5.所以lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2…a20)＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10＝10ln(a10a11)＝10lne5＝50lne＝50.]三、解答题9．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．[解] a1a5＝a，a3a7＝a，∴由题意，得a－2a3a5＋a＝36，同理得a＋2a3a5＋a＝100，∴ an＞0，∴解得或分别解得或2∴an＝a1qn－1＝2n－2或an＝a1qn－1＝26－n.10．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝－，bn＝，求数列{bn}的通项公式．[解]an＋1－2＝－－2＝，＝＝＋2，即bn＋1＝4bn＋2，bn＋1＋＝4.又a1＝1，故b1＝＝－1，所以是首项为－，公比为4的等比数列，所以bn＋＝－×4n－1，bn＝－－.11．(多选题)若一个数列的第m项等于这个数列的前m项的乘积，则称该数列为“m积数列”．若各项均为正数的等比数列{an}是一个“2016积数列”，且a1＞1，则当其前n项的乘积取最大值时，n的可能值为()A．1006B．1007C．1008D．1009BC[由题意可知a1a2a3…a2016＝a2016，故a1a2a3…a2015＝1，由于{an}是各项均为正数的等比数列且a1＞1，所以a1008＝1，公比0＜q＜1，所以a1007＞1且0＜a1009＜1，故当数列{an}的前n项的乘积取最大值时，n的值为1007或1008.∴选BC.]12．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p＞0，q＞0)的两个不同的零点，且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于()A．6B．7C．8D．9D[由题意可知a，b是方程x2－px＋q＝0的两根，∴a＋b＝p＞0，ab＝q＞0，故a，b均为正数． a，b，－2适当排序后成等比数列，∴－2是a，b的等比中项，得ab＝4，∴q＝4.又a，b，－2适当排序后成等差数列，所以－2是第一项或第三项，不妨设a＜b，则－2，a，b...
