高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 距离问题练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

第一章解三角形1.2应用举例第1课时距离问题A级基础巩固一、选择题1．有一长为1公里的斜坡，它的倾斜角为20°，现要将倾斜角改成10°，则斜坡长为()A．1B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°解析：原来的斜坡、覆盖的地平线及新的斜坡构成等腰三角形，这个等腰三角形的底边长就是所求．答案：C2.如图所示为起重机装置示意图．支杆BC＝10m，吊杆AC＝15m，吊索AB＝5m，起吊的货物与岸的距离AD为()A．30mB.mC．15mD．45m解析：在△ABC中，cos∠ABC＝＝，∠ABC∈(0°，180°)，所以sin∠ABC＝＝，所以在Rt△ABD中，AD＝AB·sin∠ABC＝5×＝(m)．答案：B3．甲骑电动自行车以24km/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是()A．6kmB．3kmC．3kmD．3km解析：由题意知，AB＝24×＝6(km)，∠BAS＝30°，∠ASB＝75°－30°＝45°.由正弦定理得BS＝＝＝3(km)．答案：C4．设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在河岸边选定一点C，测出AC的距离是100m，∠BAC＝60°，∠ACB＝30°，则A、B两点的距离为()A．40mB．50mC．60mD．70m解析：如下图所示，△ABC是Rt△，AB＝AC，所以AB＝50m.1答案：B5．两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于2km，灯塔A在观察站C的北偏东30°，灯塔B在观察站C南偏东60°，则A、B之间的距离为()A．2kmB．3kmC．4kmD．5km解析：如下图所示，∠ACB＝90°，又AC＝BC＝2，在△ABC中由勾股定理得：AB＝＝＝4.答案：C二、填空题6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的________．解析：如下图所示，因为AC＝BC，所以∠CAB＝∠CBA.又∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，所以∠CAB＝∠CBA＝50°.故A在B的北偏西10°的方向．答案：北偏西10°7．已知A，B，C三地，其中A，C两地被一个湖隔开，测得AB＝3km，B＝45°，C＝30°，则A、C两地的距离为________．解析：根据题意，由正弦定理可得＝，代入数值得＝，解得AC＝3.答案：38．在△ABC中，若b＝2，B＝30°，C＝135°，则a＝________．解析：因为B＝30°，C＝135°，所以A＝180°－30°－135°＝15°.由正弦定理，＝得：a＝＝＝4sin15°.又sin15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos30°－cos45°sin30°＝－，所以a＝－.2答案：－三、解答题9．要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．解：如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝(km)．在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，所以BC＝＝(km)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝()2＋－2××cos75°＝3＋2＋－＝5，所以AB＝(km)．所以A、B之间的距离为km.10．如图所示，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援(角度精确到1°)?解：如图，连接BC，由余弦定理得：BC2＝202＋102－2×20×10cos120°＝700.于是，BC＝10.因为＝，所以sin∠ACB＝，因为∠ACB＜90°，所以∠ACB＝41°.所以乙船应朝北偏东71°方向沿直线前往B处救援．B级能力提升1．如图所示，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A—C—B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知AC＝10km，∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走(结果精确到0.1km；参考数据；≈1.41，≈1.73)3()A．3.4kmB．2.3kmC．5kmD．3.2km解析：过点C作CD⊥AB，垂足为D.在Rt△CAD中，∠A＝30°，AC＝10km，CD＝AC＝5(km)，AD＝AC·cos30°＝5(km)．在Rt△BCD中，∠B＝45°，BD＝CD＝5(km)，BC＝＝5(km)．AB＝AD＋BD＝(5＋5)(km)，AC＋BC－AB＝10＋5＝(5＋5)＝5＋5－5≈5＋5×1.41－5×1.73≈3.4(km)．答案：A2．如图所示，一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座...