核心素养测评五十八圆锥曲线与其他知识的交汇问题(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.若直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两个不同的点,抛物线的焦点为F,且,4,成等差数列,则k=()A.2或-1B.-1C.2D.1±【解析】选C.设A(x1,y1),B(x2,y2).由消去y,得k2x2-4x+4=0,故Δ=16-16k2=64>0,解得k>-1,且x1+x2=.由=x1+=x1+2,=x2+=x2+2,且,4,成等差数列,得x1+2+x2+2=8,得x1+x2=4,所以=4,解得k=-1或k=2,又k>-1,故k=2.2.如图,F1,F2分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的两个焦点,以坐标原点O为圆心,|OF1|为半径的圆与该双曲线左支交于A,B两点,若△F2AB是等边三角形,则双曲线的离心率为()A.B.2C.-1D.+1【解析】选D.连接AF1,依题意知:=,2c==2,所以2a=-=(-1),e===+1.3.(多选)过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,作AC,BD垂直抛物线的准线l于C,D,其中O为坐标原点,则下列结论正确的是()A.+=-B.存在λ∈R,使得=λ成立C.·=0D.准线l上任意一点M,都使得·>0【解析】选ABC.由+==-,可得A正确;设A(x1,y1),B(x2,y2),可得C,D,又kOA==,kAD=,设直线AB的方程为x=my+.代入抛物线的方程,可得y2-2pmy-p2=0,可得y1y2=-p2,即有y1(y1-y2)=-y1y2=2px1+p2,则kOA=kAD,即存在λ∈R,使得=λ成立,则B正确;·=(-p,y1)·(-p,y2)=y1y2+p2=0,可得C正确;由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|,可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等,即该圆与CD相切,设切点为M,即有AM⊥BM,则·=0,则D不正确.4.已知双曲线C1:-y2=1,双曲线C2:-=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,M是双曲线C2的一条渐近线上的点,且OM⊥MF2,O为坐标原点,若△OMF2的面积S=16,且双曲线C1,C2的离心率相同,则双曲线C2的实轴长是()A.32B.16C.8D.4【解析】选B.双曲线C1:-y2=1的离心率为,设F2(c,0),双曲线C2一条渐近线方程为y=x,则|F2M|==b,即|OM|==a,由S=16得ab=16,即ab=32,又a2+b2=c2,=,解得a=8,b=4,c=4,即双曲线的实轴长为16.二、填空题(每小题5分,共10分)5.阿基米德(公元前287年—公元前212年)不仅是著名的物理学家,也是著名的数学家,他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的对称轴为坐标轴,焦点在y轴上,且椭圆C的离心率为,面积为20π,则椭圆C的标准方程为________.【解析】依题意设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),则椭圆C的面积为S=πab=20π,又e==,解得a2=25,b2=16.则椭圆C的标准方程为+=1.答案:+=16.(2020·杭州模拟)椭圆+=1上任意两点P,Q,O为坐标原点,若PO⊥QO,则|OP|·|OQ|的最小值是________,此时|OP|=________.【解析】由题意可设点P(|OP|cosθ,|OP|sinθ),Q,由P,Q在椭圆上,得:=+,①=+,②①+②得:+=+,所以=+≥,得|OP|·|OQ|≥,所以|OP|·|OQ|的最小值为.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)7.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为F(1,0),点P在C上.(1)求椭圆C的方程.(2)若直线l:y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,问y轴上是否存在点M,使得△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点M的坐标;若不存在,说明理由.【解析】(1)由题意可得c=1,点P在C上,所以+=1,又a2=b2+c2=b2+1,解得a2=4,b2=3,所以椭圆C的方程为+=1.(2)假设y轴上存在点M,使△ABM是以M为直角顶点的等腰直角三角形,设A,B,线段AB的中点为N,由,消去y可得7x2+8mx+4m2-12=0,Δ=64m2-28=48>0,解得m2<7,所以x1+x2=-,x1x2=,所以x0==-,y0=x0+m=,所以N,依题意有AM⊥BM,MN⊥l,由MN⊥l,可得×1=-1,可得t=-;由AM⊥BM可得·=-1,因为y1=x1+m,y2=x2+m,代入上式化简可得2x1x2++(m-t)2=0,则-+=0,解得m=±,当m=时,点M满足题意,当m=-时,点M满足题意.8.如图,已知椭圆C1:+=1(b>0)的左焦点F与抛物线C2:y2=-2px(p>0)的焦点重合,M是C1与C2在第二象限内的交点,抛物线的准线与x轴交于点E,且|ME|=.(1)求椭圆C1及抛物线C2的方程.(2)过E作直线l交椭圆C1于A,B两点,则在椭圆的长轴上是否存在点N,使得·为定值?若存在,求出点N的坐标及定值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)由两曲线焦点重合,知=,由椭圆的对称性,知E为椭圆的右焦点,连接MF,由椭圆的定义知|MF|+|ME|=4,则|MF|=4-=.设M(xM,yM),过点M作准线的垂线,垂足为H,由抛物线的定义知|MF|=|MH|=,因而yM==,xM=-,代入+=1中,得+=1,与=联立,得p=2,b2=3,所以椭圆的方程为+=1,抛物线的方程为y2=-4x.(2)由(1)知E(1,0),若直线l的斜率存在,设直线方程为y=k(x-1),由得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),所以x1+x2=,x1·x2=.假设点N存在,其坐标为(m,0),其中-2≤m≤2,·=(x1-m,y1)·(x2-m,y2)=(x1-m)·(x2-m)+k(x1-1)·k(x2-1)=(1+k2)x1x2-(m+k2)(x1+x2)+m2+k2=(1+k2)-(m+k2)+m2+k2=.若·为定值,则满足=,得m=,定值为-.当直线l的斜率不存在时,直线l的方程为x=1,不妨设其与椭圆+=1的交点为A1,,B1,-,又N,0,则·=-,·-,-=-,综上,在椭圆的长轴上存在点N,0,使得·=-,为定值.
