2016-2017学年高中数学第一章导数及其应用1.3.3函数的最大(小)值与导数高效测评新人教A版选修2-2一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数f(x)＝x＋2cosx在区间上的最小值是()A．－B．2C．＋D．＋1解析：f′(x)＝1－2sinx，∵x∈，∴sinx∈[－1,0]，∴－2sinx∈[0,2]．∴f′(x)＝1－2sinx>0在上恒成立，∴f(x)在上单调递增．∴f(x)min＝－＋2cos＝－.答案：A2．函数y＝的最大值为()A．e－1B．eC．e2D．解析：令y′＝＝0，则x＝e当x∈(0，e)时，y′>0，当x∈(e，＋∞)时，y′<0.∴当x＝e时y取最大值，故选A.答案：A3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是()A．－37B．－29C．－5D．以上都不对解析：∵f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，∵f(x)在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x＝0时，f(x)＝m最大．∴当m＝3，从而f(－2)＝－37，f(2)＝－5.∴最小值为－37.故选A.答案：A4．下列关于函数f(x)＝(2x－x2)ex的判断正确的是()①f(x)>0的解集是{x|00得0时，f′(x)<0.1当－0.∴x＝－时，f(x)取得极小值，当x＝时，f(x)取得极大值，故②正确．当x→－∞时，f(x)<0，当x→＋∞时，f(x)<0.综合函数的单调性与极值画出函数草图(如下图)．∴函数f(x)有最大值无最小值，故③不正确．答案：D二、填空题(每小题5分，共10分)5．函数f(x)＝＋x(x∈[1,3])的值域为________．解析：f′(x)＝－＋1＝，所以在[1,3]上f′(x)>0恒成立，即f(x)在[1,3]上单调递增，所以f(x)的最大值是f(3)＝，最小值是f(1)＝.故函数f(x)的值域为.答案：6．设函数f(x)＝x2ex，若当x∈[－2,2]时，不等式f(x)＞m恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝xex＋x2ex＝·x(x＋2)，由f′(x)＝0得x＝0或x＝－2.当x∈[－2,2]时，f′(x)，f(x)随x的变化情况如下表：x－2(－2,0)0(0,2)2f′(x)0－0＋f(x)∴当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝0，要使f(x)＞m对x∈[－2,2]恒成立，只需m＜f(x)min，∴m＜0.答案：m＜0三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x，x＝3是函数f(x)的极值点，求函数f(x)在x∈[1,5]上的最大值和最小值．解析：根据题意，f′(x)＝3x2－2ax＋3，x＝3是函数f(x)的极值点，得f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，得a＝5.所以f(x)＝x3－5x2＋3x.令f′(x)＝3x2－10x＋3＝0，得x＝3或x＝(舍去)．当10，函数f(x)在(3,5]上是增函数．由此得到当x＝3时，函数f(x)有极小值f(3)＝－9，也就是函数f(x)在[1,5]上的最小值；又因为f(1)＝－1，f(5)＝15，即函数f(x)在[1,5]上的最大值为f(5)＝15.综上，函数f(x)在[1,5]上的最大值为15，最小值为－9.28．设函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)＋ax(a＞0)．(1)当a＝1时，求f(x)的单调区间；(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为，求a的值．解析：函数f(x)的定义域为(0,2)，f′(x)＝－＋a.(1)当a＝1时，f′(x)＝，所以f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递减区间为(，2)．(2)当x∈(0,1]时，f′(x)＝＋a＞0，即f(x)在(0,1]上单调递增，故f(x)在(0,1]上的最大值为f(1)＝a，因此a＝.☆☆☆9．(10分)已知函数f(x)＝－x＋＋lnx在上存在x0使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的取值范围．解析：在上存在x0，使得不等式f(x0)－c≤0成立，只需c≥f(x)min，由f′(x)＝－－＋＝－＝－，∴当x∈时，f′(x)<0，故f(x)在上单调递减；当x∈时，f′(x)>0，故f(x)在上单调递增；当x∈(1,2)时，f′(x)<0，故f(x)在(1,2)上单调递减．∴f是f(x)在上的极小值．而f＝＋ln＝－ln2，f(2)＝－＋ln2，且f－f(2)＝－ln4＝lne－ln4，又e3－16>0，∴lne－ln4>0，∴在上f(x)min＝f(2)，∴c≥f(x)min＝－＋ln2.∴c的取值范围为.3
