高中数学 课时跟踪检测（二十）圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

课时跟踪检测（二十）圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点一、基本能力达标1．过点(2,4)作直线与抛物线y2＝8x只有一个公共点，这样的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：选B点(2,4)位于抛物线y2＝8x上，故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条，一条平行于对称轴，另一条与抛物线相切．2．若直线kx－y＋3＝0与椭圆＋＝1有两个公共点，则实数k的取值范围是()A.B.C.∪D.∪解析：选C由得(4k2＋1)x2＋24kx＋20＝0，当Δ＝16(16k2－5)>0，即k>或k<－时，直线与椭圆有两个公共点．故选C.3．已知双曲线方程为x2－＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L()A．4条B．3条C．2条D．1条解析：选B因为双曲线方程为x2－＝1，所以P(1,0)是双曲线的右顶点，所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线，与双曲线只有一个公共点，另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线，所以符合要求的共有3条．4．已知抛物线y2＝2px(p＞0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.5．已知双曲线x2－＝1，过P(2,1)点作一直线交双曲线于A，B两点，并使P为AB的中点，则直线AB的斜率为________．解析：法一：显然直线AB存在斜率，设AB斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB方程为y－1＝k(x－2)，由得(3－k2)x2＋(4k2－2k)x－4k2＋4k－4＝0，∴x1＋x2＝＝4，∴k＝6.法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，且x－＝1，x－＝1.两式相减得(x1－x2)(x1＋x2)＝.显然x1－x2≠0，∴＝＝6，即kAB＝6.答案：616．已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l：x＝3的距离的比为，则动点M的轨迹方程为________．解析：设M(x，y)，则＝，∴3(x－1)2＋3y2＝(x－3)2.∴2x2＋3y2＝6.∴所求方程为＋＝1.答案：＋＝17．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A，B两点，且l经过抛物线的焦点F，点A(8,8)，求线段AB的中点到准线的距离．解：设AB的中点是P，到准线的距离是|PQ|，由题意知点F(2,0)，直线AB的方程是：y＝(x－2)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去x得y2＝8⇒y2－6y－16＝0⇒y1＝8，y2＝－2.∴|AB|＝|y1－y2|＝，由抛物线的定义知：|PQ|＝|AB|＝.8．在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)，(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设直线y＝kx＋1与C交于A，B两点，k为何值时OA⊥OB？此时|AB|的值是多少．解：(1)设P(x，y)，由椭圆的定义知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴长为2的椭圆，它的短半轴长b＝＝1.故曲线C的方程为＋x2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立消去y，并整理，得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0.由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝－.若OA⊥OB，则x1x2＋y1y2＝0.因为y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，所以x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝－＝0，所以k＝±.当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.所以|AB|＝·＝＝.二、综合能力提升1．过椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()A.B.C.D.解析：选A最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦．将点(c，y)的坐标代入椭圆＋＝1，得y＝±，故最短弦长是.22．椭圆mx2＋ny2＝1与直线y＝1－x交于M，N两点，过原点与线段MN中点所在直线的斜率为，则的值是()A.B.C.D.解析：选A由消去y得，(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，MN中点为(x0，y0)，则x1＋x2＝，∴x0＝，代入y＝1－x得y0＝.由题意＝，∴＝，选A.3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝()A.B.C.D.解析：选D将y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，设A(x1，y1),B(x2，y2)，则x1＋x2＝，x1x2＝4，抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，由|FA|＝2|FB|及抛物线定义得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2...