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高中数学 课时跟踪检测(二十)圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点 北师大版选修2-1-北师大版高二选修2-1数学试题VIP免费

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课时跟踪检测(二十)圆锥曲线的共同特征直线与圆锥曲线的交点一、基本能力达标1.过点(2,4)作直线与抛物线y2=8x只有一个公共点,这样的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条解析:选B点(2,4)位于抛物线y2=8x上,故过(2,4)且与抛物线只有一个交点的直线有两条,一条平行于对称轴,另一条与抛物线相切.2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是()A.B.C.∪D.∪解析:选C由得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)>0,即k>或k<-时,直线与椭圆有两个公共点.故选C.3.已知双曲线方程为x2-=1,过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点,则共有L()A.4条B.3条C.2条D.1条解析:选B因为双曲线方程为x2-=1,所以P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外还有两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的共有3条.4.已知抛物线y2=2px(p>0),过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A,B两点,若线段AB的中点的纵坐标为2,则该抛物线的准线方程为()A.x=1B.x=-1C.x=2D.x=-2解析:选B抛物线的焦点F,所以过焦点且斜率为1的直线方程为y=x-,即x=y+,将其代入y2=2px=2p=2py+p2,所以y2-2py-p2=0,所以=p=2,所以抛物线的方程为y2=4x,准线方程为x=-1.5.已知双曲线x2-=1,过P(2,1)点作一直线交双曲线于A,B两点,并使P为AB的中点,则直线AB的斜率为________.解析:法一:显然直线AB存在斜率,设AB斜率为k,A(x1,y1),B(x2,y2),则AB方程为y-1=k(x-2),由得(3-k2)x2+(4k2-2k)x-4k2+4k-4=0,∴x1+x2==4,∴k=6.法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4,y1+y2=2,且x-=1,x-=1.两式相减得(x1-x2)(x1+x2)=.显然x1-x2≠0,∴==6,即kAB=6.答案:616.已知点M到定点F(1,0)的距离与M到定直线l:x=3的距离的比为,则动点M的轨迹方程为________.解析:设M(x,y),则=,∴3(x-1)2+3y2=(x-3)2.∴2x2+3y2=6.∴所求方程为+=1.答案:+=17.已知直线l与抛物线y2=8x交于A,B两点,且l经过抛物线的焦点F,点A(8,8),求线段AB的中点到准线的距离.解:设AB的中点是P,到准线的距离是|PQ|,由题意知点F(2,0),直线AB的方程是:y=(x-2),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去x得y2=8⇒y2-6y-16=0⇒y1=8,y2=-2.∴|AB|=|y1-y2|=,由抛物线的定义知:|PQ|=|AB|=.8.在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,-),(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)求C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A,B两点,k为何值时OA⊥OB?此时|AB|的值是多少.解:(1)设P(x,y),由椭圆的定义知,点P的轨迹C是以(0,-),(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b==1.故曲线C的方程为+x2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消去y,并整理,得(k2+4)x2+2kx-3=0.由根与系数的关系得x1+x2=-,x1x2=-.若OA⊥OB,则x1x2+y1y2=0.因为y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1,所以x1x2+y1y2=---+1=-=0,所以k=±.当k=±时,x1+x2=∓,x1x2=-.所以|AB|=·==.二、综合能力提升1.过椭圆+=1(a>b>0)的焦点F(c,0)的弦中最短弦长是()A.B.C.D.解析:选A最短弦是过焦点F(c,0)且与焦点所在直线垂直的弦.将点(c,y)的坐标代入椭圆+=1,得y=±,故最短弦长是.22.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是()A.B.C.D.解析:选A由消去y得,(m+n)x2-2nx+n-1=0.设M(x1,y1),N(x2,y2),MN中点为(x0,y0),则x1+x2=,∴x0=,代入y=1-x得y0=.由题意=,∴=,选A.3.已知直线y=k(x+2)(k>0)与抛物线C:y2=8x相交于A,B两点,F为C的焦点,若|FA|=2|FB|,则k=()A.B.C.D.解析:选D将y=k(x+2)代入y2=8x,得k2x2+(4k2-8)x+4k2=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=4,抛物线y2=8x的准线方程为x=-2,由|FA|=2|FB|及抛物线定义得x1+2=2(x2+2),即x1=2+2x2,代入x1x2=4,整理得x+x2-2=0,解得x2=1或x2...

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