高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.1 抛物线及其标准方程学业分层测评（含解析）北师大版选修1-1-北师大版高二选修1-1数学试题VIP免费

2.2.1抛物线及其标准方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．(2016·宜昌高二检测)如果抛物线y2＝ax的准线是直线x＝1，那么它的焦点坐标为()A．(1,0)B．(2,0)C．(3,0)D．(－1,0)【解析】由准线方程x＝1可得a＝－4，所以焦点坐标为(－1,0)．【答案】D2．到直线x＝2与到定点P(2,0)的距离相等的点的轨迹是()A．抛物线B．圆C．椭圆D．直线【解析】法一：根据抛物线的定义判断，首先要看点P与直线的位置关系．点P(2,0)在直线x＝2上，故轨迹不是抛物线，而是经过点P(2,0)且垂直于直线x＝2的一条直线．法二：设动点M(x，y)，则有＝|x－2|，所以y2＝0，即y＝0，表示的是x轴这条直线．故选D.【答案】D3．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为()A.B．1C．2D．4【解析】由已知，可知抛物线的准线x＝－与圆(x－3)2＋y2＝16相切．圆心为(3,0)，半径为4，圆心到直线的距离d＝3＋＝4，解得p＝2.【答案】C4．(2014·全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0等于()A．1B．2C．4D．8【解析】由抛物线方程y2＝x，知p＝，又因为|AF|＝x0＋＝x0＋＝x0，所以得x0＝1.【答案】A5．已知F为抛物线x2＝2py(p>0)的焦点，M为其上一点，且|MF|＝2p，则直线MF的斜率为()A．－B．±C．－D．±【解析】由题意，得F，准线为y＝－.过点M作MN垂直于准线于N，过F作FQ垂直于MN于Q，则|MN|＝|MF|＝2p，|MQ|＝p.故∠MFQ＝30°.即直线MF的倾斜角为150°或30°，斜率为－或.【答案】B二、填空题6．抛物线y2＝2px过点M(2,2)，则点M到抛物线准线的距离为________．【解析】因为y2＝2px过点M(2,2)，于是p＝1，所以点M到抛物线准线的距离为2＋＝.【答案】7．一动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，并且动圆恒与直线x＋2＝0相切，则动圆必过定点________．1【解析】直线x＋2＝0是抛物线y2＝8x的准线，根据抛物线的定义，动圆必过焦点(2,0)．【答案】(2,0)8．若动圆与圆(x－2)2＋y2＝1外切，又与直线x＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是________．【解析】设动圆的半径为r，圆心O′(x，y)，且O′到点(2,0)的距离为r＋1，O′到直线x＝－1的距离为r，所以O′到(2,0)的距离与到直线x＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y2＝8x.【答案】y2＝8x三、解答题9．(1)求过点P(2，－4)的抛物线的标准方程；(2)抛物线的焦点F在x轴上，直线y＝－3与抛物线相交于点A，|AF|＝5，求抛物线的标准方程.【解】(1) P(2，－4)在第四象限且坐标轴是对称轴，∴设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．将P点的坐标代入，得p＝4或p＝.∴所求抛物线的方程为y2＝8x或x2＝－y.(2)设所求焦点在x轴上的抛物线的标准方程为：y2＝2px(p≠0)，A(m，－3)．则由抛物线的定义得5＝|AF|＝又(－3)2＝2pm.所以，p＝±1或p＝±9.故所求抛物线的方程为y2＝±2x或y2＝±18x.10．求与圆(x－3)2＋y2＝9外切，且与y轴相切的动圆圆心的轨迹方程．【解】设定圆圆心M(3,0)，半径r＝3，动圆圆心P(x，y)，半径为R，则由已知得下列等式∴|PM|＝|x|＋3.当x>0时，上式几何意义为点P到定点M的距离与它到直线x＝－3的距离相等，∴点P轨迹为抛物线，焦点M(3,0)，准线x＝－3.∴p＝6.抛物线方程为y2＝12x.当x<0时，|PM|＝3－x，动点P到定点M的距离等于动点P到直线x＝3的距离，点P轨迹为x轴负半轴，∴所求轨迹方程为y2＝12x(x>0)或y＝0(x<0)．2[能力提升]1．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－【解析】因为抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，且点A(－2,3)在准线上，故－＝－2，解得p＝4，所以y2＝8x，所以焦点F的坐标为(2,0)，这时直线AF的斜率kAF＝＝－.【答案】C2．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为()A．5B．10C．20D．【解析】由抛物线方程y2＝4x，易得抛物线的准线l的方程为x＝－1，又由|PM|＝5，可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝×5×4＝10，选B.【答案】B3．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的...