第99练绝对值不等式与不等式证明[基础保分练]1．已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x＋3|(a∈R)，g(x)＝|x－3|＋1.(1)解不等式|g(x)|>3；(2)若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围．2．已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.(1)求＋＋的最小值；(2)证明：x2＋y2＋z2≥3.3．(2019·盐城中学模拟)已知a>b>0，且m＝a＋.(1)试利用基本不等式求m的最小值t；(2)若实数x，y，z满足x2＋4y2＋z2＝t，求证：|x＋2y＋z|≤3.[能力提升练]4．设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；(2)若f(x)≤2的解集为[－1,3]，＋＝a(m>0，n>0)，求证：m＋4n≥2＋3.1答案精析1．解(1)由||x－3|＋1|>3，得|x－3|＋1>3⇔|x－3|>2⇔x－3>2或x－3<－2，得x>5或x<1，所以不等式的解集为{x|x>5或x<1}．(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|x－2a|＋|x＋3|≥|(x－2a)－(x＋3)|＝|2a＋3|，g(x)＝|x－3|＋1≥1，所以|2a＋3|≥1，解得a≥－1或a≤－2，所以实数a的取值范围为(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．2．(1)解因为x>0，y>0，z>0，根据基本不等式得x＋y＋z≥3，①＋＋≥3，②①②两式同向相乘得(x＋y＋z)·≥(3)·＝9，所以＋＋≥＝3，当且仅当x＝y＝z＝1时，原式取得最小值，即＋＋的最小值为3.(2)证明由柯西不等式可得(12＋12＋12)(x2＋y2＋z2)≥(x＋y＋z)2＝9，可得x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时等号成立．3．(1)解由三个数的基本不等式得m＝(a－b)＋b＋≥3＝3(当且仅当a－b＝b＝，即b＝1，a＝2时取“＝”)，故t＝3.(2)证明∵x2＋4y2＋z2＝3，由柯西不等式得[x2＋(2y)2＋z2](12＋12＋12)≥(x＋2y＋z)2，(当且仅当＝＝，即x＝z＝1，y＝时取“＝”)整理得(x＋2y＋z)2≤9，即|x＋2y＋z|≤3.4．解(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，∴或2或∴x≤－2或x≥5.∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)f(x)≤2，即|x－a|≤2，解得a－2≤x≤a＋2，而f(x)≤2的解集是[－1,3]，∴解得a＝1，∴＋＝1(m>0，n>0)，∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3.(当且仅当m＝＋1，n＝时取等号)34
