第2课时数列求和【基础练习】1．数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于()A．1B．C．D．【答案】B【解析】∵an＝＝－，∴Sn＝＋＋…＋＝1－＝.∴S5＝.故选B．2．数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，则它的前100项之和S100等于()A．200B．－200C．400D．－400【答案】B【解析】由题意可得数列{an}的通项公式为an＝(－1)n－1·(4n－3)，所以a1＝1，a2＝－5，a3＝9，a4＝－13，…，a99＝393，a100＝－397.所以S100＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a99＋a100)＝－4×50＝－200.故选B．3．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，记Sn为{an}的前n项和，则S2018＝()A．1007B．1009C．－1007D．－1009【答案】D【解析】由a1＝1，an＋1＝(－1)n(an＋1)，可得a1＝1，a2＝－2，a3＝－1，a4＝0，a5＝1，则数列{an}是周期为4的数列，所以S2018＝504(a1＋a2＋a3＋a4)＋a2017＋a2018＝504×(－2)＋1－2＝－1009.4．已知数列{an}满足a1＝1且anan＋1＝2n，则数列{an}的前20项的和为()A．3×211－3B．3×211－1C．3×210－2D．3×210－3【答案】D【解析】∵数列{an}满足a1＝1且anan＋1＝2n，∴a2＝＝2，an－1an＝2n－1，n≥2.∴＝＝2，则数列{an}的奇数项是首项为1，公比为2的等比数列，偶数项是首项为2，公比为2的等比数列．∴前20项的和为S20＝＋＝3×210－3.故选D．5．设数列{an}满足a1＝1，an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________．【答案】【解析】a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n.以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋4＋…＋n.∵a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝，∴＝＝2，∴S10＝2＋＝2＝.6．在数列{an}中，anan＋1＝，a1＝1.若Sn为数列{an}的前n项和，则S20＝________.【答案】15【解析】由anan＋1＝，a1＝1，得a2＝.∵an－1an＝(n≥2)，∴＝1(n≥2)．说明数列{an}是所有奇数项是1，偶数项为的数列，则S20＝10×1＋10×＝15.7．等比数列{an}中，S3＝7，S6＝63.(1)求an；(2)记数列{Sn}的前n项和为Tn，求Tn.【解析】(1)若q＝1，则S6＝2S3，与已知矛盾，所以q≠1.则解得即an＝2n－1.1(2)由(1)，得Sn＝2n－1，于是Tn＝21－1＋22－1＋…＋2n－1＝－n＝2n＋1－n－2.8．已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5.(1)求{an}的通项公式；(2)求数列的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，∵前n项和Sn满足S3＝0，S5＝－5，∴解得a1＝1，d＝－1.∴an＝1－(n－1)＝2－n.(2)＝＝，∴数列的前n项和Tn＝…＋＝＝.【能力提升】9．(2019年内蒙古赤峰模拟)数列1,1＋2,1＋2＋4，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前n项和Sn>1020，那么n的最小值是()A．7B．8C．9D．10【答案】D【解析】∵1＋2＋22＋…＋2n－1＝＝2n－1，∴Sn＝(2＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－2－n.若Sn>1020，显然Sn是递增的且S9＝1013<1020，S10＝2036>1020，∴n的最小值是10.故选D．10．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”．若a1＝2，{an}的“差数列”的通项公式为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.【答案】2n＋1－2【解析】∵an＋1－an＝2n，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2＝＋2＝2n－2＋2＝2n.∴Sn＝＝2n＋1－2.11．设公差不为0的等差数列{an}的首项为1且a2，a5，a14构成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n项和Tn.【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，∵a2，a5，a14构成等比数列，∴a＝a2a14，即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)，解得d＝0(舍去)或d＝2.∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*，当n＝1时，＝；当n≥2时，＝1－－＝.∴＝，n∈N*.由(1)，知an＝2n－1，n∈N*，∴bn＝，n∈N*.∴Tn＝＋＋＋…＋，则Tn＝＋＋…＋＋.两式相减，得Tn＝＋－＝－－，∴Tn＝3－.23
