课时分层作业(二十二)(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是()A．2B.C．4D．2C[设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝，|BF|＝，则|AF|·|BF|＝×＝≥4.]2．已知抛物线x2＝ay与直线y＝2x－2相交于M，N两点，若MN中点的横坐标为3，则此抛物线方程为()A．x2＝yB．x2＝6yC．x2＝－3yD．x2＝3yD[设点M(x1，y1)，N(x2，y2)．由消去y，得x2－2ax＋2a＝0，所以＝＝3，即a＝3，因此所求的抛物线方程是x2＝3y.]3．已知抛物线y2＝2x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为()A．1B．2C．3D．4D[设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝3，利用抛物线的定义可知，|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋1＝4，由图可知|AF|＋|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.]二、填空题4．已知过抛物线Γ：x＝－的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝－7，则AB的值为________．[解析]因为x＝－，所以y2＝－2x，所以抛物线Γ的准线方程为x＝，根据抛物线的定义知AF＝－x1，BF＝－x2，所以AB＝AF＋BF＝1－(x1＋x2)＝1－(－7)＝8.[答案]85．直线y＝k(x＋1)与抛物线y2＝8x有两个交点，则实数k的取值范围是________．[解析]联立直线与抛物线方程，得所以ky2－8y＋8k＝0.由题意得解得－＜k＜，且k≠0.所以实数k的取值范围是(－，0)∪(0，)．[答案](－，0)∪(0，)6．已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，P是E的准线l上一点，Q是直线PF与E的一个交点．若PQ＝QF，则直线PF的方程为________．[解析]抛物线E：y2＝4x的焦点F(1,0)，设Q到l的距离为d，则QF＝d. PQ＝QF，∴|PQ|＝|QF|＝d，∴直线的倾斜角为45°或135°，∴直线的斜率为±1，∴直线的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.[答案]x＋y－1＝0或x－y－1＝07．如图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水面宽4m．水位下降1m后，水面宽____________________________m.1[解析]建立如图所示平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．由题意A(2，－2)，代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.设B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面宽为2m.[答案]28．已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交于y轴于点N，若M为FN的中点，则|FM|＝________.[解析] 抛物线C：y2＝8x的焦点坐标F(2,0)，准线方程x＝－2， 点M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，M为FN的中点，设M(a，b)(b＞0)，∴a＝1，b＝2，∴N(0,4)，|FN|＝＝6.[答案]6三、解答题9．已知抛物线y2＝2px(p>0)有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，两直角边OA与OB的长分别为1和8，求抛物线的方程．[解]设直线OA的方程为y＝kx，k≠0，则直线OB的方程为y＝－x，由得x＝0(舍)或x＝，∴A点坐标为，B点坐标为(2pk2，－2pk)，由|OA|＝1，|OB|＝8，可得解方程组得k6＝64，即k2＝4.则p2＝＝，又p>0，则p＝，故所求抛物线方程为y2＝x.10．已知过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1＜x2)两点，且|AB|＝9.(1)求该抛物线的方程；(2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λOB，求λ的值．[解](1)直线AB的方程是y＝2，与y2＝2px联立，从而有4x2－5px＋p2＝0，所以x1＋x2＝，由抛物线定义得，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝9，所以p＝4，从而抛物线方程为y2＝8x.(2)由于p＝4,4x2－5px＋p2＝0可化简为x2－5x＋4＝0，从而x1＝1，x2＝4，y1＝－2，y2＝4，从而A(1，－2)，B(4，4)；设C(x3，y3)，则OC＝(x3，y3)＝(1，－2)＋λ(4,4)＝(4λ＋1,4λ－2)，又y＝8x3，2即[2(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，即(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.[能力提升练]1．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴，且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为()A．y2＝3x或y2＝－3xB．y2＝－3xC．y2＝6xD．y2＝6x或y2＝－6xA[设所求抛物线的方程为y2＝2mx(m≠0)，设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，则|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2，由对称性知y2＝－y1，∴y1＝.将y1＝代入x2＋y2＝4，得x＝±1，将点(1，)，(－1，)分别代入方程y2＝2mx中，得3＝2m...
