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高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质课时分层作业 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题VIP免费

高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4 抛物线 2.4.2 抛物线的几何性质课时分层作业 苏教版选修2-1-苏教版高二选修2-1数学试题_第1页
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课时分层作业(二十二)(建议用时:40分钟)[基础达标练]一、选择题1.过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A,B两点,点O是坐标原点,则|AF|·|BF|的最小值是()A.2B.C.4D.2C[设直线AB的倾斜角为θ,可得|AF|=,|BF|=,则|AF|·|BF|=×=≥4.]2.已知抛物线x2=ay与直线y=2x-2相交于M,N两点,若MN中点的横坐标为3,则此抛物线方程为()A.x2=yB.x2=6yC.x2=-3yD.x2=3yD[设点M(x1,y1),N(x2,y2).由消去y,得x2-2ax+2a=0,所以==3,即a=3,因此所求的抛物线方程是x2=3y.]3.已知抛物线y2=2x的弦AB的中点的横坐标为,则|AB|的最大值为()A.1B.2C.3D.4D[设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=3,利用抛物线的定义可知,|AF|+|BF|=x1+x2+1=4,由图可知|AF|+|BF|≥|AB|⇒|AB|≤4,当且仅当直线AB过焦点F时,|AB|取得最大值4.]二、填空题4.已知过抛物线Γ:x=-的焦点F的直线交抛物线Γ于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=-7,则AB的值为________.[解析]因为x=-,所以y2=-2x,所以抛物线Γ的准线方程为x=,根据抛物线的定义知AF=-x1,BF=-x2,所以AB=AF+BF=1-(x1+x2)=1-(-7)=8.[答案]85.直线y=k(x+1)与抛物线y2=8x有两个交点,则实数k的取值范围是________.[解析]联立直线与抛物线方程,得所以ky2-8y+8k=0.由题意得解得-<k<,且k≠0.所以实数k的取值范围是(-,0)∪(0,).[答案](-,0)∪(0,)6.已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,P是E的准线l上一点,Q是直线PF与E的一个交点.若PQ=QF,则直线PF的方程为________.[解析]抛物线E:y2=4x的焦点F(1,0),设Q到l的距离为d,则QF=d. PQ=QF,∴|PQ|=|QF|=d,∴直线的倾斜角为45°或135°,∴直线的斜率为±1,∴直线的方程为x+y-1=0或x-y-1=0.[答案]x+y-1=0或x-y-1=07.如图是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m,水面宽4m.水位下降1m后,水面宽____________________________m.1[解析]建立如图所示平面直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).由题意A(2,-2),代入x2=-2py,得p=1,故x2=-2y.设B(x,-3),代入x2=-2y中,得x=,故水面宽为2m.[答案]28.已知F是抛物线C:y2=8x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交于y轴于点N,若M为FN的中点,则|FM|=________.[解析] 抛物线C:y2=8x的焦点坐标F(2,0),准线方程x=-2, 点M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N,M为FN的中点,设M(a,b)(b>0),∴a=1,b=2,∴N(0,4),|FN|==6.[答案]6三、解答题9.已知抛物线y2=2px(p>0)有一个内接直角三角形,直角顶点在原点,两直角边OA与OB的长分别为1和8,求抛物线的方程.[解]设直线OA的方程为y=kx,k≠0,则直线OB的方程为y=-x,由得x=0(舍)或x=,∴A点坐标为,B点坐标为(2pk2,-2pk),由|OA|=1,|OB|=8,可得解方程组得k6=64,即k2=4.则p2==,又p>0,则p=,故所求抛物线方程为y2=x.10.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若OC=OA+λOB,求λ的值.[解](1)直线AB的方程是y=2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=,由抛物线定义得,|AB|=x1+x2+p=+p=9,所以p=4,从而抛物线方程为y2=8x.(2)由于p=4,4x2-5px+p2=0可化简为x2-5x+4=0,从而x1=1,x2=4,y1=-2,y2=4,从而A(1,-2),B(4,4);设C(x3,y3),则OC=(x3,y3)=(1,-2)+λ(4,4)=(4λ+1,4λ-2),又y=8x3,2即[2(2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1,解得λ=0或λ=2.[能力提升练]1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长等于2,则抛物线的方程为()A.y2=3x或y2=-3xB.y2=-3xC.y2=6xD.y2=6x或y2=-6xA[设所求抛物线的方程为y2=2mx(m≠0),设交点A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0),则|y1|+|y2|=2,即y1-y2=2,由对称性知y2=-y1,∴y1=.将y1=代入x2+y2=4,得x=±1,将点(1,),(-1,)分别代入方程y2=2mx中,得3=2m...

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