2.3平面向量的基本定理及坐标表示2.3.3平面向量的坐标运算A级基础巩固一、选择题1．(2014·广东卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝()A．(－2，1)B．(2，－1)C．(2，0)D．(4，3)解析：由题意得b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)．答案：B2．下列说法正确的个数有()(1)向量的坐标即此向量终点的坐标．(2)位置不同的向量其坐标可能相同．(3)一个向量的坐标等于它的终点坐标减去它的始点坐标．(4)相等的向量坐标一定相同．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：因为只有起点在原点时，向量的坐标等于此向量终点的坐标，故(1)错误；另外(2)(3)(4)均正确．答案：C3．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()A.B.C.D.解析：AB＝(3，－4)，则与AB同方向的单位向量为＝(3，－4)＝.答案：A4．设向量a＝(1，－3)，b＝(－2，4)，若表示向量4a，3b－2a，c的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c等于()A．(1，－1)B．(－1，1)C．(－4，6)D．(4，－6)解析：因为4a，3b－2a，c对应有向线段首尾相接，所以4a＋3b－2a＋c＝0，故有c＝－2a－3b＝－2(1，－3)－3(－2，4)＝(4，－6)．答案：D5．已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为()A.B.C.D.解析：如图所示，因为∠AOC＝45°，所以设C(x，－x)，则OC＝(x，－x)．1又因为A(－3，0)，B(0，2)，所以λOA＋(1－λ)OB＝(－3λ，2－2λ)，所以⇒λ＝.答案：C二、填空题6．设向量a，b满足a＝(1，－1)，|b|＝|a|，且b与a的方向相反，则b的坐标为________．解析：因为向量a与b的方向相反，且|b|＝|a|，所以b＝－a＝－(1，－1)＝(－1，1)．答案：(－1，1)7．作用于原点的两个力F1＝(1，1)，F2＝(2，3)，为使它们平衡，需加力F3＝________．解析：因为F1＋F2＋F3＝0，所以F3＝－F1－F2＝－(1，1)－(2，3)＝(－3，－4)．答案：(－3，－4)8．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3a，则点B的坐标为________．解析：OA＝(－1，－5)，AB＝3a＝(6，9)，故OB＝OA＋AB＝(5，4)，故点B的坐标为(5，4)．答案：(5，4)三、解答题9．已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝4，∠xOA＝60°.(1)求向量OA的坐标；(2)若B(，－1)，求BA的坐标．解：(1)设点A(x，y)，则x＝4cos60°＝2，y＝4sin60°＝6，即A(2，6)，OA＝(2，6)．(2)BA＝(2，6)－(，－1)＝(，7)．10．已知点A(3，－4)与点B(－1，2)，点P在直线AB上，且|AP|＝2|PB|，求点P的坐标．解：设P点坐标为(x，y)，|AP|＝2|PB|.当P在线段AB上时，AP＝2PB.所以(x－3，y＋4)＝2(－1－x，2－y)，所以解得所以P点坐标为.当P在线段AB延长线上时，AP＝－2PB.所以(x－3，y＋4)＝－2(－1－x，2－y)，所以解得综上所述，点P的坐标为或(－5，8)．B级能力提升1．对于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定义m⊗n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a⊗b，那么向量b等于()A.B.C.D.解析：设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a⊗b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所以2＋x＝2x，y－4＝－4y.解得x＝2，y＝，所以向量b＝.答案：A22．在△ABC中，点P在BC上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝(1，5)，则BC＝________．解析：PQ－PA＝AQ＝(1，5)－(4，3)＝(－3，2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ＝QC，所以PC＝PQ＋QC＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP＝2PC，所以BC＝BP＋PC＝3PC＝3(－2，7)＝(－6，21)．答案：(－6，21)3．已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA＋t·AB，试问：(1)当t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第三象限？(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，则求出t的值；若不能，请说明理由．解：(1)OP＝OA＋tAB＝(1＋3t，2＋3t)，则P(1＋3t，2＋3t)，若P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－；若P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－；若P在第三象限，则所以t<－.(2)因为OA＝(1，2)，PB＝(3－3t，3－3t)，若四边形OABP是平行四边形，则OA＝PB，所以此方程组无解，故四边形OABP不能成为平行四边形．3
