1.1.1正弦定理课时过关·能力提升1在△ABC中,a=1,∠C=60°,若c=√3,则∠A的值为()A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°答案A2已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,若a=c=√6+√2,且∠A=75°,则b等于()A.2B.4+2√3C.4-2√3D.√6−√2解析sinA=sin75°=sin(45°+30°)=√6+√24.由a=c=√6+√2,可知∠C=75°,所以∠B=30°.所以sinB=12.由正弦定理,得b=asinBsinA=(√6+√2)×12√6+√24=2.答案A3设a,b,c分别是△ABC中∠A,∠B,∠C所对边的边长,则直线xsinA+ay+c=0与bx-ysinB+sinC=0的位置关系是()A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直解析由题设条件可知a≠0,sinB≠0,从而两条直线的斜率分别是k1=-sinAa,k2=bsinB.1由正弦定理知asinA=bsinB,从而有k1k2=-1,所以两条直线垂直.答案C4若sinAa=cosBb=cosCc,则△ABC是()A.等边三角形B.有一内角是30°的直角三角形C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形解析由正弦定理及已知条件得sinB=cosB,sinC=cosC,则∠B=∠C=45°,∠A=90°.故该三角形为等腰直角三角形.答案C5在△ABC中,若a=1,b=x,∠A=30°,则使△ABC有两解的x的范围是.答案(1,2)6在△ABC中,已知三个内角∠A,∠B,∠C对边的边长分别为a,b,c,tanC=43,c=8,则△ABC的外接圆半径为.解析∵∠C为△ABC的内角,tanC=43,∴0°<∠C<90°,∴sinC=45.由正弦定理,得csinC=2R,2R=8sinC=845=10,则R=5.答案57在△ABC中,已知∠B=60°,AC=√3,则AB+2BC的最大值为.2解析令AB=c,BC=a,则由正弦定理得asinA=csinC=ACsinB=√3√32=2,则c=2sinC,a=2sinA,且∠A+∠C=120°,故AB+2BC=c+2a=2sinC+4sinA=2sinC+4sin(120°-∠C)=2sinC+4(√32cosC+12sinC)=4sinC+2√3cosC=2√7sin(C+φ)(其中tanφ=√32).当∠C+φ=90°时,AB+2BC取最大值,为2√7.答案2√7★8已知在△ABC中,∠B=60°,最大边与最小边之比为(√3+1)∶2,则最大角的角度为.解析设最大角为∠A,最小角为∠C,由∠B=60°,得∠A+∠C=120°,则∠A=120°-∠C.根据正弦定理得ac=sinAsinC=sin(120°-∠C)sinC=√3+12,∴2sin(120°-∠C)=√3sinC+sinC,即√3cosC+sinC=√3sinC+sinC,∴tanC=1.故∠C=45°,∠A=75°.答案75°9已知a,b,c分别为△ABC的∠A,∠B,∠C的对边,p=(cosC,sinC),q=(1,√3),且p∥q.(1)求∠C的大小;(2)若sinB=cos2B,且c=3,求a,b的值.分析本题是三角恒等变换与解三角形以及向量知识相结合的一道题目,由p∥q可得∠C的正切值,进而求出∠C;再由sinB=cos2B,c=3和正弦定理可求出a,b.3解(1)∵p∥q,∴cosC1=sinC√3.∴tanC=√3.又∠C∈(0,π),∴∠C=π3.(2)∵sinB=cos2B=1-2sin2B,∴2sin2B+sinB-1=0.∴sinB=12或sinB=-1(舍去).∵∠B∈(0,2π3),∴∠B=π6.∴∠A=π2.由正弦定理,得b=csinBsinC=3×12sinπ3=√3,a=csinAsinC=2√3.★10如图所示,扇形AOB,圆心角∠AOB为60°,半径为2,在弧AB上有一动点P.过P引平行于OB的直线交OA于点C,设∠AOP=θ,求△POC面积的最大值及此时θ的值.解∵CP∥OB,∴∠CPO=∠POB=60°-θ,∠OCP=120°.在△POC中,由正弦定理,得OPsin∠PCO=CPsinθ,∴CP=OPsinθsin∠PCO=2sinθsin120°=4√3sinθ.又OCsin(60°-θ)=2sin120°,∴OC=4√3sin(60°-θ),4∴S△POC=12CP·OCsin120°=12×4√3sinθ·4√3sin(60°-θ)×√32=2√33cos(2θ-60°)-√33.又0°<θ<60°,∴当θ=30°时,S△POC取得最大值√33.5
