第三章导数及其应用第4讲定积分与微积分基本定理习题理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2016·西安调研)定积分(2x＋ex)dx的值为()A.e＋2B.e＋1C.eD.e－1解析(2x＋ex)dx＝(x2＋ex))＝1＋e1－1＝e.故选C.答案C2.直线y＝4x与曲线y＝x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2B.4C.2D.4解析如图，y＝4x与y＝x3的交点A(2，8)，图中阴影部分即为所求图形面积.S阴＝(4x－x3)dx＝＝8－×24＝4，故选D.答案D3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落地，已知自由落体的运动速度为v＝gt(g为常数)，则电视塔高为()A.gB.gC.gD.2g解析电视塔高h＝gtdt＝＝g.答案C4.(2016·河北五校联考)若f(x)＝f(f(1))＝1，则a的值为()A.1B.2C.－1D.－2解析因为f(1)＝lg1＝0，f(0)＝＝a3，由f(f(1))＝1，得a3＝1，a＝1.答案A5.若S1＝x2dx，S2＝dx，S3＝exdx，则S1，S2，S3的大小关系为()A.S10，若曲线y＝与直线x＝a，y＝0所围成封闭图形的面积为a2，则a＝________.解析封闭图形如图所示，则dx＝＝a－0＝a2，解得a＝.答案7.汽车以v＝3t＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的路程是________m.解析阴影部分面积S＝(3t＋2)dt＝＝×4＋4－＝10－＝(m).答案6.58.(2015·福建卷)如图，点A的坐标为(1，0)，点C的坐标为(2，4)，函数f(x)＝x2.若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于________.解析阴影部分面积S＝(4－x2)dx＝＝，∴所求概率P＝＝＝.答案三、解答题9.求曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x围成的图形的面积.解作出曲线y＝x2，直线y＝x，y＝3x的图象，所求面积为图中阴影部分的面积.解方程组得交点(1，1)，解方程组得交点(3，9)，因此，所求图形的面积为S＝(3x－x)dx＋(3x－x2)dx＝2xdx＋(3x－x2)dx＝x2＝1＋－＝.10.(2015·陕西卷改编)如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示)，试求原始的最大流量与当前最大流量的比值.解建立如图所示的直角坐标系，可设抛物线的方程为x2＝2py(p＞0)，由图易知(5，2)在抛物线上，可得p＝，抛物线方程为x2＝y，所以当前最大流量对应的截面面积为2dx＝，原始的最大流量对应的截面面积为＝16.所以原始的最大流量与当前最大流量的比值为＝1.2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若f(x)＝x2＋2f(x)dx，则f(x)dx＝()A.－1B.－C.D.1解析由题意知f(x)＝x2＋2f(x)dx，设m＝f(x)dx，∴f(x)＝x2＋2m，f(x)dx＝(x2＋2m)dx＝＝＋2m＝m，∴m＝－.答案B12.已知函数f(x)＝sin(x－φ)，且f(x)dx＝0，则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x＝B.x＝C.x＝D.x＝解析由f(x)dx＝0，得sin(x－φ)dx＝0，即－cos(x－φ)＝0，∴－cos＋cosφ＝0，∴cosφ－sinφ＝0，∴cos＝0，∴φ＋＝＋kπ(k∈Z)，解得φ＝kπ＋(k∈Z)，∴f(x)＝sin，由x－kπ－＝k′π＋得x＝(k＋k′)π＋π(k，k′∈Z)，故选A.答案A13.(2016·乳山一中模拟)若函数f(x)，g(x)满足f(x)g(x)dx＝0，则称f(x)，g(x)为区间[－1，1]上的一组正交函数.给出三组函数：①f(x)＝sinx，g(x)＝cosx；②f(x)＝x＋1，g(x)＝x－1；③f(x)＝x，g(x)＝x2.其中为区间[－1，1]上的正交函数的组数是________(填序号).解析①中f(x)g(x)dx＝dx＝dx＝0；②中f(x)g(x)dx＝(x＋1)(x－1)dx＝(x2－1)dx＝)＝－≠0；③中f(x)·g(x)＝x3为奇函数，在[－1，1]上的积分为0，故①③满足条件.答案①③14.在区间[0，1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值.解S1面积等于边长分别为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t·t2－x2dx＝t3.S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形边长分别为t2，1－t面积，即S2＝x2dx－t2(1－t)＝t3－t2＋.所以阴影部分的面积S(t)＝S1＋S2＝t3－t2＋(0≤t≤1).令S′(t)＝4t2－2t＝4t＝0，得t＝0或t＝.t＝0时，S(t)＝；t＝时，S(t)＝；t＝1时，S(t)＝.所以当t＝时，S(t)最小，且最小值为.
