高中数学 第三章 不等式 3.4 基本不等式（第2课时）练习（含解析）新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

3.3.4《基本不等式》（第2课时）一、选择题：1．已知正数a、b满足ab＝10，则a＋b的最小值是()A．10B．25C．5D．2【答案】D【解析】a＋b≥2＝2，等号在a＝b＝时成立，∴选D．2．已知m、n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是()A．100B．50C．20D．10【答案】B【解析】由m2＋n2≥2mn得，mn≤＝50，等号在m＝n＝5时成立，故选B．3．若a>0，b>0且a＋b＝4，则下列不等式恒成立的是()A．>B．＋≤1C．≥2D．≤【答案】D【解析】 a>0，b>0，a＋b＝4，∴≤＝2，∴ab≤4，∴≥，∴＋＝＝≥1，故A、B、C均错，选D．4．已知△ABC的内角A，B，C对的边分别为a，b，c，sinA＋sinB＝2sinC，b＝3，当内角C最大时，△ABC的面积等于()A．B．C．D．【答案】A【解析】根据正弦定理及sinA＋sinB＝2sinC得a＋b＝2c，∴c＝，cosC＝＝＝＋－≥2－＝，当且仅当＝，即a＝时，等号成立，此时sinC＝，S△ABC＝absinC＝××3×＝.5．设a、b是实数，且a＋b＝3，则2a＋2b的最小值是()A．6B．4C．2D．8【答案】B【解析】 2a>0,2b>0，a＋b＝3，∴2a＋2b≥2＝2＝2＝4，等号成立时，2a＝2b，∴a＝b＝.6．实数x、y满足x＋2y＝4，则3x＋9y的最小值为()A．18B．12C．2D．【答案】A【解析】 x＋2y＝4，∴3x＋9y＝3x＋32y≥2＝2＝2＝18，等号在3x＝32y即x＝2y时成立． x＋2y＝4，∴x＝2，y＝1时取到最小值18.7．设x＋3y－2＝0，则3x＋27y＋1的最小值为()A．7B．3C．1＋2D．5【答案】A【解析】由已知得x＋3y＝2，3x>0,27y>0，∴3x＋27y＋1≥2＋1＝6＋1＝7，当且仅当3x＝27y，即x＝1，y＝时等号成立．8．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为()A．6B．7C．8D．9【答案】D【解析】 a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．1∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．9．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为()A．B．C．2D．4【答案】D【解析】圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D．10．设a、b是两个实数，且a≠b，①a5＋b5>a3b2＋a2b3，②a2＋b2≥2(a－b－1)，③＋>2.上述三个式子恒成立的有()A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】B【解析】①a5＋b5－(a3b2＋a2b3)＝a3(a2－b2)＋b3(b2－a2)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)>0不恒成立；(a2＋b2)－2(a－b－1)＝a2－2a＋b2＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0恒成立；＋>2或＋<－2，故选B．二、填空题：11．已知a>b>c，则与的大小关系是________．【答案】≤【解析】 a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，∴＝≥，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立．12．若关于x的不等式ax2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．【答案】[，＋∞]【解析】解法1：首先a＝0时不满足题意；若a≠0则由题意得：Δ＝1－8a2≤0，且a>0，解得a≥.解法2：首先若a＝0，显然不合题意，若a<0，显然x＝0满足不等式；∴a>0.令t＝|x|，则t≥0，原不等式化为at2－t＋2a<0，由题意知at2－t＋2a<0在[0，＋∞)上无实数根．从而at2－t＋2a≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≥. t>0时，＝≤＝，等号成立时，t＝，即t＝，又t＝0时＝0，∴a≥.13．建造一个容积为8m3，深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为__________元．【答案】1760【解析】设水池池底的一边长为xm，则另一边长为m，则总造价为：y＝480＋80××2＝480＋320≥480＋320×2＝1760.当且仅当x＝即x＝2时，y取最小值1760.所以水池的最低总造价为1760元．14．已知不等式(x＋y)(＋)≥9对任意正实数x、y恒成立，则正实数a的最小值为________．【答案】4【解析】 a>0，∴(x＋y)(＋)＝1＋a＋＋≥1＋a＋2，由条件知a＋2＋1＝9，∴a＝4.三、解答题15．(1)已知a、b均为正实数，且2a＋8b－ab＝0，求a＋b的最小值．(2)已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1.求证：(a＋)＋(b＋)＋(c＋)≥10.【答案】见解析【解析】(1) 2a＋8b－ab＝0，∴＋＝1，又a>...