3.1.5空间向量的数量积课时目标1.掌握空间向量的夹角及空间向量数量积的概念.2.掌握空间向量的运算律及其坐标运算.3.掌握空间向量数量积的应用．1．两向量的夹角如图所示，a,b是空间两个非零向量，过空间任意一点O，作OA＝a，OB＝b，则__________叫做向量a与向量b的夹角，记作__________．如果〈a，b〉＝，那么向量a，b______________，记作__________．2．数量积的定义已知两个非零向量a，b，则____________叫做向量a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝__________.零向量与任一向量的数量积为0.特别地，a·a＝|a|·|a|cos〈a，a〉＝________.3．数量积的运算律空间向量的数量积满足如下的运算律：(λa)·b＝λ(a·b)(λ∈R)；a·b＝b·a；a·(b＋c)＝a·b＋a·c.4．数量积的坐标运算若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝________________；(2)a⊥b⇔__________⇔____________________________；(3)|a|＝＝______________；(4)cos〈a，b〉＝____________＝_________________________________________.一、填空题1．若a，b均为非零向量，则a·b＝|a||b|是a与b共线的____________条件．2．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝________.3．已知向量a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，|λa＋b|＝且λ>0，则λ＝________.4．若a、b、c为任意向量，下列命题是真命题的是____．(写出所有符合要求的序号)①若|a|＝|b|，则a＝b；②若a·b＝a·c，则b＝c；③(a·b)·c＝(b·c)·a＝(c·a)·b；④若|a|＝|b|，且a与b夹角为45°，则(a－b)⊥b.5．已知向量a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，若a与b成120°角，则k＝________.6.设O为坐标原点，向量OA＝(1,2,3)，OB＝(2,1,2)，OP＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA·QB取得最小值时，点Q的坐标为________．7．向量(a＋3b)⊥(7a－5b)，(a－4b)⊥(7a－2b)，则a和b的夹角为____________．8．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且a与b的夹角为，则|a＋b|＝________.二、解答题9.如图，已知在空间四边形OABC中，OB＝OC，AB＝AC.求证：OA⊥BC.10.在正四面体ABCD中，棱长为a，M、N分别是棱AB、CD上的点，且MB＝2AM，CN＝ND，求MN.1能力提升11.如图所示，已知线段AB在平面α内，线段AC⊥α，线段BD⊥AB，且AB＝7，AC＝BD＝24，线段BD与α所成的角为30°，求CD的长．12．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠BCA＝90°，AA1＝2,并取A1B1、A1A的中点分别为P、Q.(1)求的长；（2）求cos〈BQ，CB1〉，cos〈BA1，CB1〉，并比较〈BQ，CB1〉与〈BA1，CB1〉的大小；(3)求证：AB1⊥C1P.21．数量积可以利用基底或坐标两种形式进行运算．选择基底时，应注意三个基向量的长度，两两之间的夹角应该是确定的；当所选基向量两两互相垂直时，用坐标运算更为方便．2．利用数量积可以求向量的长度和向量的夹角．3．1.5空间向量的数量积知识梳理1．∠AOB〈a，b〉互相垂直a⊥b2．|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉|a|24．(1)a1b1＋a2b2＋a3b3(2)a·b＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0(3)(4)作业设计1．充分不必要解析a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|cos〈a，b〉＝1〈a，b〉＝0，但当a与b反向时，不能成立．2.解析 |a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝1＋6·cos60°＋9＝13.∴|a＋3b|＝.3．3解析 a＝(0，－1,1)，b＝(4,1,0)，∴λa＋b＝(4,1－λ，λ)． |λa＋b|＝，∴16＋(1－λ)2＋λ2＝29.∴λ＝3或λ＝－2. λ>0，∴λ＝3.4．④解析两个向量的等价条件是模长相等且方向相同，故命题①错；a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉，而a·c＝|a|·|c|·cos〈a，c〉，于是由a·b＝a·c推出的是|b|cos〈a，b〉＝|c|·cos〈a，c〉，故命题②错；向量的数量积运算不满足结合律，故命题③错；(a－b)·b＝a·b－b2＝b2－b2＝0，故命题④正确．35．－解析cos〈a，b〉＝＝＝－，得k＝±.又k<0，所以k＝－.6．(，，)解析设Q(λ，λ，2λ)，则QA·QB＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，当QA·QB取最小值时，λ＝，所以Q(，，)．7．60°解析由(a＋3b)·(7a－5b)＝0，(a－4b)·(7a－2b)＝0，得7a2＋16a·b－15b2＝0,7a2－30a·b＋8b2＝0，解得a2...
