2.2空间向量的运算[基础达标]如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则下列向量中与BM相等的向量是()A．－a＋b＋cB．a＋b＋cC．－a－b＋cD．a－b＋c解析：选A. A1M＝(a＋b)，∴BM＝BA＋AA1＋A1M＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c.已知空间向量a，b，c两两夹角为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝()A.B．5C．6D．解析：选A. |a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，∴|a－b＋2c|2＝a2＋b2＋4c2－2a·b－4b·c＋4a·c＝5，∴|a－b＋2c|＝.设空间四点O，A，B，P满足OP＝mOA＋nOB，其中m＋n＝1，则()A．点P一定在直线AB上B．点P一定不在直线AB上C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上D.AB与AP的方向一定相同解析：选A. n＝1－m，∴OP＝mOA＋(1－m)OB＝mOA＋OB－mOB，即OP－OB＝m(OA－OB)，∴BP＝mBA，选A.已知四边形ABCD满足：AB·BC＞0，BC·CD＞0，CD·DA＞0，DA·AB＞0，则该四边形为()A．平行四边形B．梯形C．平面四边形D．空间四边形解析：选D. AB·BC＞0，∴〈AB，BC〉为锐角，∴∠B为钝角，同理可得∠C，∠D，∠A均为钝角，则有∠A＋∠B＋∠C＋∠D＞360°.∴该四边形为空间四边形．如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是()A．45°B．60°C．90°D．120°解析：选B.令BA＝a，BC＝b，BB1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝m(m＞0)，a·b＝b·c＝c·a＝0，EF＝(c－a)，BC1＝b＋c，又|EF|＝m，|BC1|＝m，∴cos〈EF，BC1〉＝＝＝，∴直线EF和BC1所成的角为60°.化简(AB－CD)－(AC－BD)＝________．解析：法一：(利用相反向量的关系转化为加法运算)(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝AB＋DC＋CA＋BD＝AB＋BD＋DC＋CA＝0.1法二：(利用向量的减法运算法则求解)(AB－CD)－(AC－BD)＝(AB－AC)＋BD－CD＝CB＋BD－CD＝CD－CD＝0.答案：0设e1，e2是空间两个不共线的向量，若AB＝e1＋ke2，BC＝5e1＋4e2，DC＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，则实数k＝________．解析：BD＝BC＋CD＝BC－DC＝6(e1＋e2)， A、B、D三点共线，可令AB＝λBD，即e1＋ke2＝6λ(e1＋e2)，又e1，e2不共线，故有，∴k＝1.答案：1如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________．解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos60°＋0＋×42＝14.答案：14已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外一点O，在下列条件下，判断点P是否与A，B，C三点共面．(1)OP＝OA＋OB＋OC；(2)OP＝2OA－2OB－OC.解：(1)OP＝OA＋OB＋OC＝OA＋(OA＋AB)＋(OA＋AC)＝OA＋AB＋AC，即OP＝OA＋AB＋AC，AP＝AB＋AC，所以点P与A，B，C三点共面．(2)OP＝2OA－2OB－OC＝2OA－2(OA＋AB)－(OA＋AC)＝－2AB－OA－AC，即OP＝－OA－2AB－AC，而AP不能由AB和AC表示，所以不能把OP化为OP＝OA＋xAB＋yAC的形式，所以点P不与A，B，C三点共面．如图所示，四边形ABCD、ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．解： M、N分别是AC、BF的中点，且四边形ABCD、ABEF都是平行边形，∴MN＝MA＋AF＋FN＝CA＋AF＋FB.又 MN＝MC＋CE＋EB＋BN＝－CA＋CE－AF－FB，∴CA＋AF＋FB＝－CA＋CE－AF－FB.∴CE＝CA＋2AF＋FB＝2(MA＋AF＋FN)．∴CE＝2MN.∴CE∥MN，即CE与MN共线．[能力提升]2已知在空间四边形OABC中(如图所示)，OA⊥BC，OB⊥AC，则OC和AB所成的角为()A．45°B．60°C．30°D．90°解析：选D.由已知得OA⊥BC，OB⊥AC，∴OA·BC＝0，OB·AC＝0，∴OA·(OC－OB)＝0，OB·(OC－OA)＝0，∴OA·OC＝OA·OB，OB·OC＝OB·OA，∴OA·OC－OB·OC＝0，(OA－OB)·OC＝0，BA·OC＝0，∴OC⊥AB，即OC和AB成90°角．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则向量a，b的夹角为________．解析： |a|＝|b|＝|a＋b|＝1，∴1＝|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝2＋2cos〈a，b〉，∴cos〈a，b〉＝－，∴a，b的夹角为120°.答案：120°如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B、...
