高中数学 第4章 导数及其应用 4.2.3 导数的运算法则应用案巩固提升 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学试题VIP免费

4.2.3导数的运算法则[A基础达标]1．已知f(x)＝，则f＝()A．－25B．－C.D．25解析：选B.因为f(x)＝，所以f′(x)＝－.故f′＝－25，f＝f(－25)＝－.2．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)>0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1，0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1，0)解析：选C.因为f′(x)＝2x－2－＝，又x>0，所以f′(x)>0即x－2>0，解得x>2.3．设a∈R，函数f(x)＝ex＋a·e－x的导函数是f′(x)，且f′(x)是奇函数，则a的值为()A．1B．－C．D．－1解析：选A.因为f′(x)＝ex－ae－x，由奇函数的性质可得f′(0)＝1－a＝0，解得a＝1.4．下列求导运算正确的是()A．(x＋)′＝1＋B．(log2x)′＝C．(3x)′＝3x·logaeD．(x2·cosx)′＝－2xsinx解析：选B.A错误，因为(x＋)′＝(x)′＋()′＝1－；B正确；C错误，因为(3x)′＝3xln3；D错误，因为(x2·cosx)′＝(x2)′cosx＋x2(cosx)′＝2xcosx－x2sinx.5．曲线y＝－在点M(，0)处的切线的斜率为()A．－B．C．－D．解析：选B.y′＝＝，故切线斜率k＝y′|x＝＝，选B.6．令f(x)＝x2·ex，则f′(x)等于________．解析：f′(x)＝(x2)′·ex＋x2·(ex)′＝2x·ex＋x2·ex＝ex(2x＋x2)．答案：ex(2x＋x2)7．若曲线运动的物体的位移s与时间t的关系为s＝＋2t2，则t＝2时的瞬时速度为________．解析：s′＝′＋(2t2)′＝＋4t＝＋4t.所以t＝2时的瞬时速度为s′|t＝2＝＋8＝8.答案：88．曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，则点P的坐标为________．解析：因为曲线f(x)＝x3＋x－2在点P处的切线与直线x＋4y＋1＝0垂直，所以曲线f(x)在点P处的切线斜率为4，因为f(x)＝x3＋x－2，所以f′(x)＝3x2＋1＝4，所以x＝±1，x＝1时，y＝0，x＝－1时，y＝－4，所以点P的坐标为(1，0)或(－1，－4)．1答案：(1，0)或(－1，－4)9．求下列函数的导数：(1)f(x)＝(x3＋1)(2x2＋8x－5)；(2)f(x)＝.解：(1)f′(x)＝(2x5＋8x4－5x3＋2x2＋8x－5)′＝10x4＋32x3－15x2＋4x＋8.(2)f′(x)＝′＝′＋′＝＋＝＝.10．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，其导函数f′(x)＝2x－8.(1)求a，b的值；(2)设函数g(x)＝exsinx＋f(x)，求曲线g(x)在x＝0处的切线方程．解：(1)因为f(x)＝ax2＋bx＋3(a≠0)，所以f′(x)＝2ax＋b，又知f′(x)＝2x－8，所以a＝1，b＝－8.(2)由(1)可知g(x)＝exsinx＋x2－8x＋3，所以g′(x)＝exsinx＋excosx＋2x－8，所以g′(0)＝e0sin0＋e0cos0＋2×0－8＝－7，又知g(0)＝3.所以曲线g(x)在x＝0处的切线方程为y－3＝－7(x－0)．即7x＋y－3＝0.[B能力提升]11．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝3x2＋2xf′(2)，则f′(5)的值为()A．2B．5C．6D．12解析：选C.f′(x)＝6x＋2f′(2)，令x＝2得，f′(2)＝12＋2f′(2)，所以f′(2)＝－12，所以f(x)＝3x2－24x，所以f′(x)＝6x－24，所以f′(5)＝6.12．已知f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，则f′(0)＝________．解析：因为f(x)＝x(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋6，所以f′(x)＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)＋x[(x＋1)(x＋2)(x＋3)(x＋4)(x＋5)]′所以f′(0)＝1×2×3×4×5＝120.答案：12013．已知函数f(x)＝x3＋ax2－a，试求常数a的值，使f′(x)＝0且f(x)＝0.解：f′(x)＝3x2＋2ax.令f′(x)＝0，得x＝0或－a.由题设知：当x＝0时，f(0)＝0，所以－a＝0，所以a＝0；当x＝－a时，f＝0，所以＋a－a＝0，所以a(a2－9)＝0，所以a＝0或a＝±3.故当a＝0或±3时，f′(x)＝0且f(x)＝0.14．(选做题)已知函数f(x)＝，g(x)＝alnx，x∈R.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)相交，2且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程．解：因为f(x)＝，g(x)＝alnx，所以f′(x)＝，g′(x)＝.设y＝f(x)，y＝g(x)的交点为(x0，y0)，则由已知得解得所以切线斜率k＝f′(x0)＝f′(e2)＝，切点为(e2，e)，所以切线方程为y－e＝(x－e2)，即x－2ey＋e2＝0.3