高三数学(文科)摸底测试参考答案第1页(共4页)成都市2013级高中毕业班摸底测试数学试题参考答案(文科)第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:(每小题5分,共60分)1.A;2.D;3.B;4.D;5.A;6.A;7.C;8.D;9.C;10.A;11.B;12.C.第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题:(每小题5分,共20分)13.12;14.30;15.439;16.4-2+n2n-1.三、解答题:(共70分)17.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,∴AO⊥BC,∴AO⊥OB′,AO⊥OC.…………4分又∵OB′∩OC=O,∴AO⊥平面B′OC.…………6分(Ⅱ)由三视图,知直线OB′,OA,OC两两垂直,且OC=OB′=1,OA=3,∴S△AOC=32,S△B′OC=12,S△B′OA=32.…………9分在△AB′C中,∵AC=AB′=10,B′C=2,∴S△AB′C=12×2×(10)2-(22)2=192.∴三棱锥B′-AOC的表面积为S△AOC+S△B′OC+S△B′OA+S△AB′C=32+12+32+192=7+192.…………12分18.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)f(x)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6).…………2分由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,得-π3+kπ≤x≤π6+kπ,k∈Z.∴f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈Z.…………7分(Ⅱ)∵x∈[0,π4],∴2x+π6∈[π6,2π3].高三数学(文科)摸底测试参考答案第2页(共4页)∴12≤sin(2x+π6)≤1,∴1≤2sin(2x+π6)≤2.…………11分∴函数f(x)的值域是[1,2].…………12分19.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)第3组的人数为0.3×100=30,第4组的人数为0.2×100=20,第5组的人数为0.1×100=10.∴第3,4,5组共有60名志愿者.∴用分层抽样的方法在这3组志愿者中抽取6名志愿者,每组抽取的人数分别为:第3组:3060×6=3;第4组:2060×6=2;第5组:1060×6=1.∴应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人.…………6分(Ⅱ)记第3组的3名志愿者分别为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者分别为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1.则从6名志愿者中抽取2名志愿者的可能情况有:(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种不同的结果.…………9分其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3都没有被抽中的可能情况有:(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有3种不同的结果.∴第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为1-315=45.…………12分20.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)由题意,知2a=4,c=1.∴a=2,b2=a2-c2=3.∴椭圆的标准方程为x24+y23=1.……………4分(Ⅱ)设直线l的方程为y=k(x-1)(k≠0).代入x24+y23=1,得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.显然△>0.设A(x1,y1),B(x2,y2).则x1+x2=8k24k2+3,x1x2=4k2-124k2+3.……6分(i)由题意,知C(x1,-y1).∴直线BC的方程为y=y2+y1x2-x1(x-x1)-y1.高三数学(文科)摸底测试参考答案第3页(共4页)令y=0,则xN=y1(x2-x1)y2+y1+x1=y1x2+y2x1y2+y1=2x1x2-(x1+x2)x1+x2-2=2·4k2-124k2+3-8k24k2+38k24k2+3-2=4.∴直线BC恒过定点N(4,0).…………9分(ii)由(i),可知N(4,0),F(1,0).当k=2时,x1+x2=1611,x1x2=-411.∴△ABN的面积可表示为S=12|FN||y2-y1|=32|2(x2-x1)|.∴S=322[(x1+x2)2-4x1x2]=322[(1611)2-4·(-411)]=182×3112=18116.故△ABN的面积S为18116.…………12分21.(本小题满分12分)解:(Ⅰ)∵f(x)=ax2+1nx,∴f′(x)=1x+2ax.令φ(x)=1x+2ax,则φ′(x)=-1x2+2a.由题意,知φ′(12)=0.∴-4+2a=0,∴a=2.经检验,a=2符合题意.∴实数a的值为2.…………3分(Ⅱ)h(x)=1nx+12x2-(b+1)x.∴h′(x)=1x+x-(b+1)=x2-(b+1)x+1x.(i)由函数h(x)存在递减区间,则x2-(b+1)x+1<0在(0,+∞)有解.即b>x+1x-1在(0,+∞)有解,∴b>(x+1x-1)min.…………5分∵x+1x-1≥2x·1x-1=1,当且仅当x=1时取等号,∴(x+1x-1)min=1.易知b≠1.∴实数b的取值范围是(1,+∞).…………7分(ii)由题意,知x1,x2是方程x2-(b+1)x+1=0的两根,且x2>x1>0.∴x1+x2=b+1,x1x2=1.…………9分由h(x1)-h(x2)=1nx1-1nx2+12x21-12x22-(b+1)(x1-x2)高三数学(文科)摸底测试参考答案第4页(共4页)=1nx1x2-12(x21-x22)=1nx1x2-12x1x2(x21-x22)=1nx1x2-12(x1x2-x2x1).设x1x2=t(00.∵h(x1)-h(x2)>k恒成立,∴k≤0.∴实数k的取值范围是(-∞,0].…………12分22.(本小题满分10分)解:(Ⅰ)曲线C的普通方程为x2=2ay,直线l的普通方程为x-y+2=0.…………4分(Ⅱ)将直线l的参数表达式代入抛物线方程,得12t2-(42+2a)t+4a+16=0.∴t1+t2=82+22a,t1t2=8a+32.…………6分∴|PM|=|t1|,|MN|=|t1-t2|,|PN|=|t2|.…………8分∵|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|MN|2=|PM||PN|.即|t1-t2|2=|t1t2|.则(t1+t2)2=5t1t2.将t1+t2=82+22a,t1t2=8a+32代入,化简,得(a+4)(a-1)=0.∵a>0,∴a=1.…………10分
