高二数学选修1－1第二章第2节抛物线北师大版（文）【本讲教育信息】一、教学内容选修1—1抛物线的标准方程及其几何性质二、教学目标1、掌握抛物线定义、抛物线的标准方程四种形式及其几何性质并能熟练地应用定义、几何性质解决抛物线问题。2、方程的数学思想、函数的数学思想、等价转化的数学思想、数与形结合的思想及待定系数法、定义法等数学思想方法的应用。三、知识要点分析1、抛物线定义：平面内与一个定点F和一条定直线L（L不过F点）的距离相等的点的集合叫抛物线。定点F叫做抛物线的焦点，定直线L叫做抛物线的准线。2、抛物线的标准方程形式：（p>0），（p>0），（p>0）（p>0）P：称为焦准距（焦点到准线的距离）3、抛物线的几何性质：对称性，范围，顶点，离心率，（以为例）4、抛物线的通径：过抛物线焦点F且垂直于对称轴的直线，与抛物线相交于P1、P2两点，则两交点之间的距离就是抛物线的通径，长度是2p。5、有关的重要结论：设过抛物线的焦点的直线的倾斜角是，与抛物线交于A（。则有下列结论（1）|AB|=，|AB|=，（显然当时，|AB|最小。最小值是2p，此时|AB|是抛物线的通径。）（2）（3）用心爱心专心（4）（定值）（5）以|AB|为直径的圆与准线相切。【典型例题】考点一：考查求抛物线的标准方程例1：求以原点为顶点，坐标轴为对称轴，并且经过P（－2，－4）的抛物线的标准方程及其对应的准线、焦点坐标。【思路分析】因顶点在原点，对称轴是坐标轴，且过点P（－2，－4），故可设抛物线方程是或设解：由已知设抛物线的标准方程是或把P（－2，－4）代入或得或p=4故所求的抛物线的标准方程是当抛物线方程是时，焦点坐标是F（，准线方程是当抛物线方程是时，焦点坐标是F（－2，0），准线方程是x=2【说明】对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程可设为例2：设过P（－2，4），倾斜角为的直线L与抛物线C交于A，B两点，抛物线C的顶点在原点，以x轴为对称轴，若|PA|，|AB|，|PB|成等比数列，求抛物线C的标准方程。【思路分析】由已知得：抛物线的开口方向不定，故可设抛物线方程为直线L的方程为y=－x+2.利用|PA|，|AB|，|PB|成等比数列转化为P，A，B三点纵坐标之间的关系。由此关系求a的值。解：设A由已知得L：y=－x+2……………………（#），由|PA|，|AB|，|PB|共线且成等比数列得：成等比数列即有：………………（*）用心爱心专心把且满足（#）故：a=1，即所求的抛物线C的标准方程是考点二：考查抛物线定义的应用例3：已知动圆M与直线L：x=1相切，与圆相外切，求动圆的圆心M的轨迹方程【思路分析】如图：定圆的圆心根据平面几何定理知：动圆圆心M到直线L：x=1的距离等于动圆的半径加1，即动圆的圆心到的距离等于它到定直线x=2的距离。解：由已知动圆的圆心M到的距离等于它到定直线x=2的距离。由抛物线的定义知：动圆的圆心M的轨迹是以（－2，0）为焦点，x=2为准线的抛物线。故p=4，所求动圆的圆心M的轨迹方程是另解：本题也可利用“定义法”来求轨迹：设M（x，y），动圆的半径是r显然：x<0，r=|x－1|=1－x.整理得：y2=－8x【说明】从上述的解法中可以看出：充分利用抛物线的定义给解题带来很大的方便。例4：在抛物线上求一点P，使P点到焦点F的距离与到点A（1，－2）的距离之和最小【思路分析】根据抛物线方程及A点坐标可以推知A点在抛物线内，把抛物线上的点到焦点的距离转化为到抛物线的准线的距离。用心爱心专心解：设M是抛物线上任意一点，L是抛物线的准线，过M作MM1L，垂足为M1，过A作AA1L，垂足为A1，且交抛物线于点P，|MA|+|MF|=|MA|+|MM1||AA1|=|PA|+|PA1|=|PF|+|PA|即P点为所求。把x=1代入得：y=－1，故P（1，－1）【说明】如果点A在抛物线的外部，则A点与F点的连线与抛物线的交点即为所求。本题具有一定的代表性，对椭圆也可用类似的方法。考点三：抛物线在实际问题中的应用。例5：已知探照灯轴截面是抛物线，如图表示平行于对称轴的光线与抛物线上的点P，Q的反射情况，设点P的纵坐标是a（a>0），a取何值时，|PQ|最小？【思路分析】探照灯原理：光源置于抛物线焦点处，反射出一束平行光线，入射光线与反射光线呈平行状态，光线PQ过抛物线的焦点。用a表示|PQ|.由...
