1.3.1函数的单调性与导数课时过关·能力提升基础巩固1.下列函数在区间(-1,1)内是减函数的是()A.y=2-3x2B.y=lnxC.y¿1x-2D.y=sinx解析:对于函数y¿1x-2,其导数y'¿-1(x-2)2<0,且函数在区间(-1,1)内有意义,所以函数y¿1x-2在区间(-1,1)内是减函数,其余都不符合要求.答案:C2.函数f(x)=(x-3)ex的单调递增区间是()A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解析:f'(x)=ex(x-2),令f'(x)=ex(x-2)>0,得x>2,即函数f(x)的单调递增区间是(2,+∞).答案:D3.若函数y=x3-2bx+6在区间(2,8)内单调递增,则()A.b≤6B.b<6C.b≥6D.b>6解析:y'=3x2-2b,由题意知y'≥0在(2,8)内恒成立,即b≤32x2在(2,8)内恒成立,所以b≤6.故选A.答案:A4.已知f(x)=2cos2x+1,x∈(0,π),则f(x)的单调递增区间是()A.(π,2π)B.(0,π)C.(π2,π)D.(0,π2)解析: f(x)=2cos2x+1=2+cos2x,x∈(0,π),∴f'(x)=-2sin2x.令f'(x)>0,则sin2x<0.又x∈(0,π),∴0<2x<2π.∴π<2x<2π,即π20的解集为()A.(-∞,-2)∪(1,+∞)B.(-∞,-2)∪(1,2)C.(-∞,-1)∪(-1,0)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(-1,1)∪(3,+∞)解析:原不等式⇔{f'(x)>0,x2-2x-3>0或{f'(x)<0,x2-2x-3<0,即{x<-1或x>1,x<-1或x>3或{-13或-10,所以只能有f'(x)≥0恒成立.所以Δ=4-12m≤0,故m≥13.经检验,当m¿13时,只有一个点使f'(x)=0符合题意,故实数m的取值范围是[13,+∞).答案:[13,+∞)7.若函数y=−43x3+bx有三个单调区间,则b的取值范围是.2解析:若函数y=−43x3+bx有三个单调区间,则其导数y'=-4x2+b=0有两个不相等的实数根,所以b>0.答案:(0,+∞)8.已知函数y=ax3+bx2+6x+1的递增区间为(-2,3),求a,b的值.分析:因为函数y=ax3+bx2+6x+1的递增区间是(-2,3),根据求单调区间的步骤可知,-2和3是方程y'=0的两根.解:y'=3ax2+2bx+6.因为函数的递增区间为(-2,3),所以y'=3ax2+2bx+6>0的解集为-20,所以函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠-a},f'(x)=−4(x+a)2+1x.依题意可知f'(1)=0,即f'(1)=−4(1+a)2+11=0,解得a=-3(a=1舍去).(2)由(1)知,函数f(x)的定义域为{x|x>0,且x≠3},f'(x)=−4(x-3)2+1x=x2-10x+9x(x-3)2=(x-1)(x-9)x(x-3)2.令f'(x)>0,解得x>9或0k>1,则下列结论一定错误的是()A.f(1k)<1kB.f(1k)>1k-1C.f(1k-1)<1k-1D.f(1k-1)>kk-1解析:构造函数F(x)=f(x)-kx,4则F'(x)=f'(x)-k>0,∴函数F(x)在R上单调递增. 1k-1>0,∴F(1k-1)>F¿0). F(0)=f(0)=-1,∴f(1k-1)−kk-1>−1,即f(1k-1)>kk-1−1=1k-1,∴f(1k-1)>1k-1,故C错误.答案:C4.★设f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,g(x)恒不为0,当x<0时,f'(x)g(x)-f(x)g'(x)>0,且f(3)=0,则不等式f(x)g(x)<0的解集是()A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0...
