高中数学 课时跟踪检测（四）数学归纳法（含解析）北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

课时跟踪检测（四）数学归纳法1．设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A.B.＋C.＋D.＋＋解析：选D要注意末项与首项，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.2．在用数学归纳法证明“2n>n2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0＝()A．1B．3C．5D．7解析：选Cn的取值与2n，n2的取值如下表：n123456……2n248163264……n2149162536……由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n>4，即n≥5时，恒有2n>n2.3．设平面内有k条直线，其中任何两条不平行，任何三条不共点，设k条直线的交点个数为f(k)，则f(k＋1)与f(k)的关系是()A．f(k＋1)＝f(k)＋k＋1B．f(k＋1)＝f(k)＋k－1C．f(k＋1)＝f(k)＋kD．f(k＋1)＝f(k)＋k＋2解析：选C当n＝k＋1时，任取其中1条直线记为l，则除l外的其他k条直线的交点的个数为f(k)，因为已知任何两条直线不平行，所以直线l必与平面内其他k条直线都相交(有k个交点)；又因为任何三条直线不过同一点，所以上面的k个交点两两不相同，且与平面内其他的f(k)个交点也两两不相同，从而n＝k＋1时交点的个数是f(k)＋k＝f(k＋1)．4．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式左边的变化情况为()A．增加B．增加＋C．增加＋，减少D．增加，减少解析：选C当n＝k时，不等式的左边＝＋＋…＋，当n＝k＋1时，不等式的左边＝＋＋…＋，又＋＋…＋－＝＋－，所以由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边增加＋，减少.5．用数学归纳法证明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立．②假设当n＝k时，等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以，当n＝k＋1时等式成立．由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立．上述证明的错误是________．解析：当n＝k＋1时正确的解法是1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1，即一定用上第二步中的假设．1答案：没有用上归纳假设进行递推6．用数学归纳法证明＋＋…＋＝，推证当n＝k＋1时等式也成立时，只需证明等式____________________________________成立即可．解析：当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋，故只需证明＋＝即可．答案：＋＝7．数列{an}满足an>0(n∈N＋)，Sn为数列{an}的前n项和，并且满足Sn＝，求S1，S2，S3的值，猜想Sn的表达式，并用数学归纳法证明．解：由an>0，得Sn>0，由a1＝S1＝，整理得a＝1，取正根得a1＝1，所以S1＝1.由S2＝及a2＝S2－S1＝S2－1，得S2＝，整理得S＝2，取正根得S2＝.同理可求得S3＝.由此猜想Sn＝.用数学归纳法证明如下：(1)当n＝1时，上面已求出S1＝1，结论成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时，结论成立，即Sk＝.那么，当n＝k＋1时，Sk＋1＝＝＝.整理得S＝k＋1，取正根得Sk＋1＝.即当n＝k＋1时，结论也成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N＋，Sn＝都成立．8．用数学归纳法证明1＋≤1＋＋＋…＋≤＋n(n∈N＋)．解：(1)当n＝1时，左式＝1＋，右式＝＋1，且≤1＋≤，命题成立．(2)假设当n＝k(n∈N＋)时，命题成立，即1＋≤1＋＋＋…＋≤＋k，则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋＋＋…＋>1＋＋2k·＝1＋.又1＋＋＋…＋＋＋…＋<＋k＋2k·＝＋(k＋1)，即当n＝k＋1时，命题成立．由(1)和(2)可知，命题对所有的n∈N＋都成立．23