【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一章计数原理1.5.1二项式定理学业分层测评苏教版选修2-3(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1．(2015·广东高考)在(－1)4的展开式中，x的系数为________．【解析】Tr＋1＝C·()4－r·(－1)r.令r＝2，则C(－1)2＝6.【答案】62.16的二项展开式中第4项是________．【解析】展开式的通项公式为Tr＋1＝C·x16－r·r＝(－1)r·C·x16－2r.所以第4项为T4＝(－1)3C·x10＝－Cx10.【答案】－Cx103．(x＋a)10的展开式中，x7的系数为15，则a＝________.(用数字填写答案)【导学号：29440025】【解析】展开式中x7的系数为Ca3＝15，即a3＝，解得a＝.【答案】4．在(1＋x)3＋(1＋)3＋(1＋)3的展开式中，含有x项的系数为________．【解析】C＋C＋C＝3＋3＋1＝7.【答案】75．使n(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为________．【解析】Tr＋1＝C(3x)n－rr＝C3n－rxn－r，当Tr＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，n＝5时成立．【答案】56．在(1＋x)6·(1－x)4的展开式中，x3的系数是________．【解析】(1＋x)6·(1－x)4＝(1＋x)2·(1＋x)4·(1－x)4＝(1＋2x＋x2)(1－x2)4.∴x3的系数为2·C·(－1)＝－8.【答案】－87．若n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为________．【解析】因为展开式中的第3项和第7项的二项式系数相同，即C＝C，所以n＝8，所以展开式的通项为Tr＋1＝Cx8－rr＝Cx8－2r，令8－2r＝－2，解得r＝5，所以T6＝C2，所以的系数为C＝56.【答案】568．设二项式6(a>0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B.若B＝4A，则a的值是________．【解析】对于Tr＋1＝Cx6－r(－ax－)r＝C(－a)r·x6－r，B＝C(－a)4，A＝C(－a)2.∵B＝4A，a>0，∴a＝2.【答案】2二、解答题9．(2016·宿迁高二检测)在6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数；(2)含x2的项．【解】(1)第3项的二项式系数为C＝15，1又T3＝C(2)42＝24·Cx，所以第3项的系数为24C＝240.(2)Tk＋1＝C(2)6－kk＝(－1)k26－kCx3－k，令3－k＝2，得k＝1.所以含x2的项为第2项，且T2＝－192x2.10．已知f(x)＝(1＋2x)m＋(1＋4x)n(m，n∈N*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数的最小值．【解】(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x的项为C·2x＋C·4x＝(2C＋4C)x，∴2C＋4C＝36，即m＋2n＝18，(1＋2x)m＋(1＋4x)n展开式中含x2的项的系数为t＝C22＋C42＝2m2－2m＋8n2－8n.∵m＋2n＝18，∴m＝18－2n，∴t＝2(18－2n)2－2(18－2n)＋8n2－8n＝16n2－148n＋612＝16，∴当n＝时，t取最小值，但n∈N*，∴n＝5时，t即x2项的系数最小，最小值为272.能力提升]1．(2016·天津高考)8的展开式中x7的系数为________．(用数字作答)【解析】8的通项Tr＋1＝C(x2)8－rr＝(－1)rCx16－3r，当16－3r＝7时，r＝3，则x7的系数为(－1)3C＝－56.【答案】－562.3展开式中的常数项是________．【解析】3＝，在(1－|x|)6中，|x|3的系数A＝C(－1)3＝－20.即所求展开式中常数项是－20.【答案】－203．若6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为________.【导学号：29440026】【解析】Tr＋1＝C(ax2)6－r·r＝Ca6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3，所以Ca6－3b3＝20，即a3b3＝1，所以ab＝1，所以a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b，且ab＝1时，等号成立．故a2＋b2的最小值是2.【答案】24．已知n的展开式的前三项系数的和为129，试问这个展开式中是否有常数项？有理项？如果没有，请说明理由；如果有，求出这一项．【解】∵Tr＋1＝C·x·2r·x－＝C·2r·x，据题意，C＋C·2＋C·22＝129，解得n＝8，∴Tr＋1＝C·2r·x，且0≤r≤8.由于＝0无整数解，所以该展开式中不存在常数项．又＝4－，∴当r＝0或r＝6时，∈Z，即展开式中存在有理项，它们是：T1＝x4，T7＝26·C·x－1＝.23
