第3讲圆锥曲线中的最值、范围、证明问题最值问题函数最值法:当题目中给出的条件和结论的几何特征不明显,则可以建立目标函数,再求这个函数的最值.求函数最值的常用方法有(1)配方法;(2)基本不等式法;(3)判别式法;(4)单调性法;(5)三角换元法;(6)导数法等.高考真题思维方法【基本不等式法】(2014·高考课标全国卷Ⅰ)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.(1)略(2)当l⊥x轴时不合题意,【关键1:研究直线l与x轴垂直的情况】故可设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2),将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=,【关键2:设出直线方程,并与椭圆方程联立,利用根与系数的关系求出A,B两点的横坐标与参数k的关系式】从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d|PQ|=.【关键3:用参数k表示面积】设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,【关键4:换元,利用基本不等式求最值】所以,当△OPQ的面积最大时,k=±,l的方程为y=x-2或y=-x-2.【利用函数的单调性求最值】(2019·高考全国卷Ⅱ)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM与BM的斜率之积为-.记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程,并说明C是什么曲线;(2)过坐标原点的直线交C于P,Q两点,点P在第一象限,PE⊥x轴,垂足为E,连接QE并延长交C于点G.①证明:△PQG是直角三角形;②求△PQG面积的最大值.(1)略(2)①证明:设直线PQ的斜率为k,则其方程为y=kx(k>0).由得x=±.记u=,则P(u,uk),Q(-u,-uk),E(u,0).【关键1:巧换元,妙设点P、Q、E的坐标】于是直线QG的斜率为,方程为y=(x-u).【关键2:求直线QG的方程】由得(2+k2)x2-2uk2x+k2u2-8=0.*设G(xG,yG),则-u和xG是方程*的解,故xG=,由此得yG=.【关键3:正确求出G点的坐标】从而直线PG的斜率为=-.【关键4:求直线PG的斜率】所以PQ⊥PG,即△PQG是直角三角形.②由①得|PQ|=2u,|PG|=,【关键5:利用弦长公式求出PQ、PG的表达式】所以△PQG的面积S=|PQ||PG|==.【关键6:将△PQG的面积表示成关于k的函数】设t=k+,则由k>0得t≥2,当且仅当k=1时取等号.因为S=在[2,+∞)单调递减,所以当t=2,即k=1时,S取得最大值,最大值为.因此,△PQG面积的最大值为.[典型例题](2019·安徽宣城二模)已知椭圆C的方程为+=1,A是椭圆上的一点,且A在第一象限内,过A且斜率等于-1的直线与椭圆C交于另一点B,点A关于原点的对称点为D.(1)证明:直线BD的斜率为定值;(2)求△ABD面积的最大值.【解】(1)证明:设D(x1,y1),B(x2,y2),则A(-x1,-y1),直线BD的斜率k=,由两式相减得=-×,因为kAB==-1,所以k==,故直线BD的斜率为定值.(2)连接OB,因为A,D关于原点对称,所以S△ABD=2S△OBD,由(1)可知BD的斜率k=,设BD的方程为y=x+t,因为D在第三象限,所以-b>0)的离心率为,焦距为2.(1)求椭圆E的方程;(2)如图,动直线l:y=k1x-交椭圆E于A,B两点,C是椭圆E上一点,直线OC的斜率为k2,且k1k2=,M是线段OC延长线上一点,且|MC|∶|AB|=2∶3,⊙M的半径为|MC|,OS,OT是⊙M的两条切线,切点分别为S,T.求∠SOT的最大值,并求取得最大值时直线l的斜率.解:(1)由题意知e==,2c=2,所以...