2016-2017学年高中数学第一章推理与证明2综合法与分析法课后演练提升北师大版选修2-2一、选择题1．设f(x)为奇函数，f(1)＝，f(x＋2)＝f(x)＋f(2)，则f(5)等于()A．0B．1C.D．5解析：由f(x)为奇函数与f(1)＝知，f(－1)＝－f(1)＝－，令x＝－1，得f(－1)＋f(2)＝f(1)，所以f(2)＝f(1)－f(－1)＝1，从而f(5)＝f(3)＋f(2)＝f(1)＋f(2)＋f(2)＝.故选C.答案：C2．若实数a，b满足0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.B．a2＋b2C．2abD．a解析：∵a＋b＝1，a＋b＞2，∴2ab＜，由a2＋b2＞＝，又∵0＜a＜b，且a＋b＝1，∴a＜，∴a2＋b2最大，故选B.答案：B3．欲证－＜－，只需证()A．(－)2＜(－)2B．(－)2＜(－)2C．(＋)2＜(＋)2D．(－－)2＜(－)2解析：分析法，欲证－＜－，只需证＋＜＋，∵＋＞0，＋＞0，∴只需证C.答案：C4．用分析法证明命题“已知a－b＝1.求证：a2－b2＋2a－4b－3＝0.”最后要具备的等式为()A．a＝bB．a＋b＝1C．a＋b＝－3D．a－b＝1解析：要证a2－b2＋2a－4b－3＝0，即证a2＋2a＋1＝b2＋4b＋4，即(a＋1)2＝(b＋2)2，即证|a＋1|＝|b＋2|，即证a＋1＝b＋2或a＋1＝－b－2，故a－b＝1或a＋b＝－3，而a－b＝1为已知条件，也是使等式成立的充分条件．答案：D二、填空题5．已知m＝(－5,3)，n＝(－1,2)，且λm＋n与2n＋m互相垂直，则实数λ的值等于________．1解析：要使(λm＋n)⊥(2n＋m)，只需(λm＋n)·(2n＋m)＝0，即7(5λ＋1)＋7(3λ＋2)＝0，解得λ＝－.答案：－6．若直线2ax＋by－4＝0(a＞0，b＞0)始终平分圆x2＋y2－2x－4y－8＝0的面积，则＋的最小值为_______________．解析：由题意，直线2ax＋by－4＝0过圆x2＋y2－2x－4y－8＝0的圆心(1,2)．于是2a＋2b－4＝0，即a＋b＝2.∴＋＝·2＝(a＋b)＝≥＝＋.当且仅当＝，且a＋b＝2，即a＝4－2，b＝2－2时，等号成立．答案：＋三、解答题7．已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证(a＋2)2＋(b＋2)2≥.证明：证法一：∵a＋b＝1，∴b＝1－a∴(a＋2)2＋(b＋2)2＝(a＋2)2＋(3－a)2＝a2＋4a＋4＋a2－6a＋9＝2a2－2a＋13＝22＋≥.证法二：∵a＋b＝1，∴a2＋b2＋2ab＝1，∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥1.∴a2＋b2≥.∵(a＋2)2＋(b＋2)2＝a2＋b2＋4(a＋b)＋4＋4＝a2＋b2＋12≥＋12＝.8．已知△ABC的三边a、b、c的倒数成等差数列，试分别用综合法和分析法证明：∠B为锐角．证明：分析法：要证明∠B为锐角，只需证cosB＞0，又因为cosB＝，所以只需证明a2＋c2－b2＞0，即a2＋c2＞b2，因为a2＋c2≥2ac，所以只需证明2ac＞b2，由已知＝＋，即2ac＝b(a＋c)．所以只需证明b(a＋c)＞b2，即a＋c＞b成立，所以∠B为锐角．综合法：由题意：＝＋＝，则b＝，∴b(a＋c)＝2ac，∵a＋c＞b，∴b(a＋c)＝2ac＞b2.∵cosB＝≥＞0，2又∵y＝cosx在(0，π)上单调递减，∴0＜∠B＜，即∠B为锐角．9．是否存在常数C，使得不等式＋≤C≤＋对任意正数x，y恒成立？试证明你的结论．解析：令x＝y＝1，得≤C≤，∴C＝，下面给出证明：先证明＋≤，因为x＞0，y＞0，要证＋≤，只需证3x(x＋2y)＋3y(2x＋y)≤2(2x＋y)(x＋2y)，即x2＋y2≥2xy，显然成立，∴＋≤.再证＋≥，只需证3x(2x＋y)＋3y(x＋2y)≥2(x＋2y)(2x＋y)，即2xy≤x2＋y2，显然成立，∴＋≥.综上所述，存在常数C＝，使对任意正数x，y都有：＋≤C≤＋成立．3
