高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 一 二维形式的柯西不等式优化练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

一二维形式的柯西不等式[课时作业][A组基础巩固]1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－2，2]B．[－2，2]C．[－，]D．(－，]解析：∵a2＋b2＝10，∴(a2＋b2)(12＋12)≥(a＋b)2，即20≥(a＋b)2，∴－2≤a＋b≤2.答案：A2．函数y＝2＋的最大值是()A．3B．C.D．4解析：y2＝2≤[22＋()2]＝6×＝3，当且仅当2＝·，即x＝时等号成立．∴y的最大值为.答案：C3．如果实数m，n，x，y满足m2＋n2＝a，x2＋y2＝b，其中a，b为常数，那么mx＋ny的最大值为()A.B．C.D．解析：由柯西不等式，得(mx＋ny)2≤(m2＋n2)(x2＋y2)＝ab，当m＝n＝，x＝y＝时，(mx＋ny)max＝.答案：B4．若a＋b＝1，则2＋2的最小值为()A．1B．2C.D．解析：2＋2＝a2＋2＋＋b2＋2＋.∵a＋b＝1，∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)≥·(a＋b)2＝，又＋≥≥＝8，以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝时，等号成立∴2＋2≥＋2＋2＋8＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，取到最小值.答案：C5．若长方形ABCD是半径为R的圆的内接长方形，则长方形ABCD周长的最大值为()A．2RB．2R1C．4RD．4R解析：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为，于是ABCD的周长l＝2(x＋)＝2(1×x＋1×)．由柯西不等式得l≤2[x2＋()2](12＋12)＝2×2R×＝4R.当且仅当x·1＝·1，即x＝R时等号成立．此时＝＝R，即四边形ABCD为正方形，故周长为最大的内接长方形是正方形，其周长为4R.答案：D6．若存在实数x使＋>a成立，常数a的取值范围为________．解析：＋＝×＋1×，由柯西不等式得(×＋1×)2≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64，所以＋≤8，当且仅当x＝10时取“＝”，于是，常数a的取值范围是(－∞，8)．答案：(－∞，8)7．设xy>0，则(x2＋)·(y2＋)的最小值为________．解析：原式＝≥2＝9.答案：98．设实数x，y满足3x2＋2y2＝6，则2x＋y的最大值为________．解析：∵[(x)2＋(y)2]≥(2x＋y)2，∴|2x＋y|≤＝，当且仅当×y＝×x，即3x＝4y且3x2＋2y2＝6时，等号成立，而此方程组有解．∴2x＋y的最大值为.答案：9．已知θ为锐角，a，b>0，求证：(a＋b)2≤＋.证明：设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝|·cosθ＋·sinθ|＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，∴(a＋b)2≤＋.10．设a，b∈R＋，若a＋b＝2，求＋的最小值．解析：∵(a＋b)＝[()2＋()2]≥2＝(1＋1)2＝4.∴2≥4，即≥2.当且仅当·＝·，即a＝b时取等号，∴当a＝b＝1时，＋的最小值为2.2[B组能力提升]1．设a1、a2、b1、b2∈R，则下列不等式中，柯西不等式用错的是()A．(a＋b)·(a＋b)≥(a1a2＋b1b2)2B．(a＋b)·(a＋b)≥(a1b2＋b1a2)2C．(a＋b)·(a＋b)≥(a1b1＋a2b2)2D．(a＋a)·(b＋b)≥(a1b1＋a2b2)2答案：C2．设xy>0，则的最小值为________．解析：原式＝[x2＋()2][()2＋y2]≥(x·＋·y)2＝9.答案：93．已知a，b∈R＋，且a＋b＝1，则(＋)2的最大值是________．解析：(＋)2＝(1×＋1×)2≤(12＋12)(4a＋1＋4b＋1)＝2[4(a＋b)＋2]＝2×|4×1＋2|＝12.答案：124．已知a，b，c为正数，且满足acos2θ＋bsin2θ