高中数学 第二章 数列 2.2 等差数列 第1课时 课后课时精练 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

2.2等差数列A级：基础巩固练一、选择题1．已知数列3,9,15，…，3(2n－1)，…那么81是它的第几项()A．12B．13C．14D．15答案C解析an＝3(2n－1)＝6n－3.由6n－3＝81得n＝14.2．方程x2＋6x＋1＝0的两根的等差中项为()A．1B．6C．5D．－3答案D解析由x1＋x2＝－6，∴x1，x2的等差中项A＝＝－3.3．等差数列{an}中，a1＝70，d＝－9，则这个数列中绝对值最小的一项为()A．a8B．a9C．a10D．a11答案B解析∵an＝a1＋(n－1)d＝79－9n，d＝－9<0，∴数列{an}为递减数列，a8＝7，a9＝－2.∴a9的绝对值最小，故选B.4．等差数列1，－1，－3，－5，…，－89，它的项数是()A．92B．47C．46D．45答案C解析a1＝1，d＝－1－1＝－2，∴an＝1＋(n－1)·(－2)＝－2n＋3，由－89＝－2n＋3，得n＝46.二、填空题5．首项为16的等差数列，从第7项起开始为负数，则公差的取值范围是________．答案－≤d<－解析设an＝16＋(n－1)d，依题意，易知解之得－≤d<－.6．在数列{an}中，a1＝2,2an＋1＝2an＋1，则a2019＝________.答案1011解析∵2an＋1＝2an＋1，∴an＋1－an＝.故{an}是首项为2，公差为的等差数列．∴a2019＝a1＋2018d＝2＋2018×＝1011.7．已知数列{an}满足a＝a＋4，且a1＝1，an>0，则an＝________.答案解析由已知a－a＝4.∴{a}是等差数列，且首项a＝1，公差d＝4.∴a＝1＋(n－1)·4＝4n－3.又an>0，∴an＝.三、解答题18．已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)．数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列；(2)求数列{an}中的最大值和最小值，并说明理由．解(1)证明：∵an＝2－(n≥2且n∈N*)，bn＝，∴当n≥2时，bn－bn－1＝－＝－＝－＝1，又b1＝＝－.所以数列{bn}是以－为首项，以1为公差的等差数列．(2)由(1)知，bn＝n－，则an＝1＋＝1＋，设函数f(x)＝1＋，易知f(x)在区间和内为减函数．所以当n＝3时，an取得最小值－1；当n＝4时，an取得最大值3.9．已知等差数列{an}：3,7,11,15，….(1)135,4m＋19(m∈N*)是数列{an}中的项吗？试说明理由；(2)若ap、aq(p、q∈N*)是数列{an}中的项，则2ap＋3aq是数列{an}中的项吗？并说明理由．解∵a1＝3，d＝4，∴an＝a1＋(n－1)d＝4n－1，(1)令an＝4n－1＝135，∴n＝34，∴135是数列{an}中的第34项，令an＝4n－1＝4m＋19，则n＝m＋5(n∈N*)，∴4m＋19是{an}中第m＋5项．(2)∵ap、aq是{an}中的项，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.∴2ap＋3aq＝2(4p－1)＋3(4q－1)＝4(2p＋3q－1)－1.∵2p＋3q－1∈N*，∴2ap＋3aq是{an}中的第2p＋3q－1项．10．已知数列{an}满足a1＝，且当n>1，n∈N*时，有＝，设bn＝，n∈N*.(1)求证：数列{bn}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．解(1)证明：当n>1，n∈N*时，＝⇔＝⇔－2＝2＋⇔－＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝＝5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴an＝＝，n∈N*.∴a1＝，a2＝，∴a1a2＝.令an＝＝，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．B级：能力提升练1．一个等差数列的首项为a1＝1，末项an＝41(n≥3)且公差为整数，那么项数n的取值个数是()A．6B．7C．8D．不确定答案B解析由an＝a1＋(n－1)d，得41＝1＋(n－1)d，d＝为整数，且n≥3.2则n＝3,5,6,9,11,21,41共7个．2．数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1，2，…)，λ是常数．(1)当a2＝－1时，求λ及a3的值；(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列？若存在，求出λ及数列{an}的通项公式；若不存在，请说明理由．解(1)由于an＋1＝(n2＋n－λ)an(n＝1,2，…)，且a1＝1.所以当a2＝－1时，得－1＝2－λ，故λ＝3.从而a3＝(22＋2－3)×(－1)＝－3.(2)数列{an}不可能为等差数列，证明如下：由a1＝1，an＋1＝(n2＋n－λ)an，得a2＝2－λ，a3＝(6－λ)(2－λ)，a4＝(12－λ)(6－λ)(2－λ)．若存在λ，使{an}为等差数列，则a3－a2＝a2－a1，即(5－λ)(2－λ)＝1－λ，解得λ＝3.于是a2－a1＝1－λ＝－2，a4－a3＝(11－λ)(6－λ)(2－λ)＝－24.这与{an}为等差数列矛盾．所以，不存在λ使{an}是等差数列．3