9.3圆的方程核心考点·精准研析考点一求圆的方程1.圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是()A.(x-1)2+(y-1)2=1B.(x+1)2+(y+1)2=1C.(x+1)2+(y+1)2=2D.(x-1)2+(y-1)2=22.(2020·长沙模拟)已知三点A(1,0),B(0,),C(2,),则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为()A.B.C.D.3.以(a,1)为圆心,且与两条平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0同时相切的圆的标准方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=5B.(x+1)2+(y+1)2=5C.(x-1)2+y2=5D.x2+(y-1)2=54.圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()A.(x-)2+(y-1)2=4B.(x-)2+(y-)2=4C.x2+(y-2)2=4D.(x-1)2+(y-)2=45.已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6,则圆C的方程为________.【解析】1.选D.由题意可得圆的半径为r=,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.2.选B.圆心在直线BC的垂直平分线,即x=1上,设圆心D(1,b),由|DA|=|DB|得|b|=,解得b=,所以圆心到原点的距离为d==.3.选A.因为两平行直线2x-y+4=0与2x-y-6=0的距离为d==2.故所求圆的半径为r=,所以圆心(a,1)到直线2x-y+4=0的距离为=,即a=1或a=-4.又因为圆心(a,1)到直线2x-y-6=0的距离也为r=,所以a=1.因此所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=5.4.选D.设圆(x-2)2+y2=4的圆心(2,0)关于直线y=x对称的点的坐标为(a,b),则有解得a=1,b=,从而所求圆的方程为(x-1)2+(y-)2=4.5.设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),将P,Q两点的坐标分别代入得又令y=0,得x2+Dx+F=0.③设x1,x2是方程③的两根,由|x1-x2|=6,得D2-4F=36,④联立①②④,解得D=-2,E=-4,F=-8,或D=-6,E=-8,F=0.故所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0.答案:x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=0求圆的方程的两种方法(1)几何法,通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时,常用到的圆的三个性质:①圆心在过切点且垂直切线的直线上;②圆心在任一弦的中垂线上;③两圆内切或外切时,切点与两圆圆心三点共线;(2)代数法,即设出圆的方程,用待定系数法求解:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值.②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.【秒杀绝招】第4题的解答可以画出直线与圆的图形,发现直线的倾斜角为30°,所以圆心M(2,0)的对称圆心M′,和原点O构成等边三角形,所以xM′=2cos60°=1,yM′=2sin60°=.考点二与圆有关的轨迹问题【典例】1.(2020·贵阳模拟)已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的任意弦,则这些弦的中点P的轨迹方程为________.2.已知直角三角形ABC的斜边为AB,且A(-1,0),B(3,0).求:(1)直角顶点C的轨迹方程.(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.【解题导思】序号联想解题1看到中点想到中点坐标公式2看到直角想到垂直关系,从而联想到斜率之积为-1或者向量的数量积为0【解析】1.方法一:设P(x,y),圆心C(1,1).因为P点是过点A的弦的中点,所以⊥.又因为=(2-x,3-y),=(1-x,1-y).所以(2-x)·(1-x)+(3-y)·(1-y)=0.所以P点的轨迹方程为+(y-2)2=.方法二:由已知得,PA⊥PC,所以由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上,圆心C(1,1),而AC中点为,|AC|==,所以半径为.所求动点P的轨迹方程为+(y-2)2=.答案:+(y-2)2=2.(1)方法一:设C(x,y),因为A,B,C三点不共线,所以y≠0.因为AC⊥BC,所以kAC·kBC=-1,又kAC=,kBC=,所以·=-1,化简得x2+y2-2x-3=0.因此,直角顶点C的轨迹方程为x2+y2-2x-3=0(y≠0).方法二:设AB的中点为D,由中点坐标公式得D(1,0),由直角三角形的性质知|CD|=|AB|=2.由圆的定义知,动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心,2为半径的圆(由于A,B,C三点不共线,所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0).(2)设M(x,y),C(x0,y0),因为B(3,0),M是线段BC的中点,由中点坐标公式得x=,y=,所以x0=2x-3,y0=2y.由(1)知,点C的轨迹方程为(x-1)2+y2=4(y≠0),将x0=2x-3,y0=2y代入得(2x-4)2+(2y)2=4,即(x-2)2+y2=1.因此动点M的轨迹方程为(x-2)2+y2=1(y≠0).求与圆有关的轨迹问题的方法:(1)直接法,直接根据题目提供的条件列出方程;(2)定义法,根据圆、直线等定义列方程;(3)几何法,利用圆的几何性质列方程;(4)代入法,找到要求点与已知点...
