3．2均值不等式课时跟踪检测[A组基础过关]1．当a，b为两个不相等的正实数时，下列各式中最小的是()A.B.C.D.解析：∵≥，≥，＝≤＝，故选D.答案：D2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2解析：ab>0，>0，>0，∴＋≥2＝2，故D正确．答案：D3．函数y＝(x＞0)的最大值为()A．2B．C.D．2解析：∵x＞0，∴y＝＝＝6－x－≤6－2＝2.当且仅当x＝2时，等号成立，故选A.答案：A4．设a>b>c，k∈R，且(a－c)·≥k恒成立，则k的最大值为()A．2B．3C．4D．5解析：(a－c)·＝(a－b＋b－c)≥2·2＝4，∴k≤4，k的最大值为4，故选C.答案：C5．已知x>1，y<0，且3y(1－x)＝x＋8，则x－3y的最小值是()A．8B．6C.D.解析：由题意，3y＝，∴x－3y＝x－＝x＋＝x＋＋＝x－1＋＋2，∵x>1，∴x－1>0，∴x－1＋≥2＝6，∴x－3y≥8，当且仅当x－1＝，即x＝4时等号成立．答案：A6．(2018·黑龙江牡丹江月考)已知正实数a，b满足ab＝1，则2a＋b的最小值为________．解析：2a＋b≥2＝2，1当且仅当2a＝b时，等号成立．答案：27．(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋的最小值为________．解析：由a－3b＋6＝0可知a－3b＝－6，且2a＋＝2a＋2－3b，因为对于任意x,2x>0恒成立，结合均值不等式的结论可得，2a＋2－3b≥2×＝2×＝.当且仅当即时等号成立．综上可得2a＋的最小值为.答案：8．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3.(1)求ab的取值范围；(2)求a＋b的取值范围．解：(1)由ab＝a＋b＋3≥2＋3.即ab－2－3≥0，即(＋1)(－3)≥0，∵>0，∴－3≥0，即≥3.∴ab≥9，当且仅当即a＝b＝3时，“＝”成立．∴ab的取值范围是[9，＋∞)．(2)∵≤，∴ab＝a＋b＋3≤2，即(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，即(a＋b＋2)(a＋b－6)≥0.∵a＋b＋2＞0，∴a＋b≥6.当且仅当a＝b＝3时，“＝”成立．∴a＋b的取值范围是[6，＋∞)．[B组技能提升]1．若直线ax＋by＋1＝0(a，b＞0)过圆x2＋y2＋8x＋2y＋1＝0的圆心，则＋的最小值为()A．8B．12C．16D．20解析：∵圆心(－4，－1)在所给直线上，∴4a＋b＝1，∴＋＝(4a＋b)＝8＋＋a≥8＋2＝16.答案：C2．已知a＞0，b＞0，则＋＋2的最小值是()A．2B．2C．4D．5解析：∵＋＋2≥2＋2＝2≥4，当且仅当＝，且＝，即a＝b＝1时等号成立．答案：C3．(2018·安徽滁州期中)若a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，则＋≥，当且仅当＝时取等号．利用以上结论，函数f(x)＝＋，x∈，取得最小值时x的值为________．解析：由题可得f(x)＝＋＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，2∴f(x)取最小值时x的值为.答案：4．(2018·江苏卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD＝1，则4a＋c的最小值为________．解析：由题意可知，S△ABC＝S△ABD＋S△BCD，由角平分线性质和三角形面积公式得acsin120°＝a×1×sin60°＋c×1×sin60°，化简得ac＝a＋c，即＋＝1，因此4a＋c＝(4a＋c)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当c＝2a＝3时取等号，则4a＋c的最小值为9.答案：95．已知a，b，c，d都是正实数．求证：＋≥4.证明：＋＝＝≥＝4.当且仅当a＝b且c＝d成立时，等号成立．6．设a≥0，b≥0，a2＋＝1，求a的最大值．解：由a2＋＝1，可得a2＋＝.又a＝＝≤·＝×＝.当且仅当a2＝，且a2＋＝1，即b＝，a＝时，等号成立．∴a的最大值为.3
