2016-2017学年高中数学第1章计数原理5二项式定理第2课时二项式系数的性质课后演练提升北师大版选修2-3一、选择题1．(1－x)4(1－)3的展开式中x2的系数是()A．－6B．－3C．0D．3解析：(1－x)4(1－)3＝(1－4x＋6x2－4x3＋x4)·(1－3x＋3x－x)，所以x2的系数是－12＋6＝－6.答案：A2．若(x3＋)n展开式中只有第6项的二项式系数最大，则不含x的项等于()A．210B．120C．461D．416解析：由已知得第6项应为中间项，则n＝10.Tr＋1＝C·(x3)10－r·()r＝C·x30－5r.令30－5r＝0，得r＝6.∴T6＋1＝C＝210.答案：A3．若二项式n的展开式中二项式系数的和是64，则展开式中的常数项为()A．－240B．－160C．160D．240解析：由题意2n＝64，即n＝6，设Tr＋1为常数项．则Tr＋1＝C(x2)6－r·r＝(－2)rCx12－2r－r，令12－3r＝0，即r＝4，所以常数项为(－2)4·C＝16×15＝240，故选D．答案：D4．(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的项是()A．第4项B．第4、5两项C．第5项D．第3、4两项解析：(x－y)n的展开式，当n为偶数时，展开式共有n＋1项，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，展开式有n＋1项，中间两项的二项式系数最大．而(x－y)7的展开式中，系数绝对值最大的是中间两项，即第4、5两项．答案：B二、填空题5．如图是一个类似杨辉三角的递推式，则第n行的首尾两个数均为____________.13356571111791822189…解析：观察规律可知：第n行的首尾两个数均为2n－1.答案：2n－116．在(1＋x)9的展开式中，系数最大的项的系数是____________.解析：因二项展开式共有10项，所以中间两项的二项式系数最大且相等，又由于x的系数为1.所以系数最大的项的系数为C或C，都等于126.答案：126三、解答题7．已知n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式的常数项．解析：依题意C∶C＝14∶3⇒3C＝14C∴＝⇒n＝10.设第r＋1项为常数项，又Tr＋1＝C()10－rr＝(－2)rCx，令＝0⇒r＝2，∴T2＋1＝C(－2)2＝180.因此所求常数项为180.8．已知(2x－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5.(1)求a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；(2)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|；(3)求a1＋a3＋a5.解析：(1)令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(2×1－1)5＝1.(2)由二项式定理，得(2x－1)5＝C(2x)5＋C(2x)4(－1)＋C(2x)3(－1)2＋C(2x)2(－1)3＋C(2x)(－1)4＋C(－1)5＝a0x5＋a1x4＋a2x3＋a3x4＋a4x＋a5.对比系数可知，a1，a3，a5为负数．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5，又在二项展开式中令x＝－1，得－35＝－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－(a0－a1＋a2－a3＋a4－a5)．∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|＋|a5|＝－(－35)＝35＝243.(3)令x＝1得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝1，①令x＝－1得－a0＋a1－a2＋a3－a4＋a5＝－35②①＋②得2(a1＋a3＋a5)＝1－35，∴a1＋a3＋a5＝＝－121.☆☆☆9．设m，n是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n，已知在f(x)展开式中，x的系数为19.(1)当m，n为何值时，x2的系数最小？(2)当x2的系数最小时，求x7的系数．解析：(1)f(x)展开式中，x的系数为C＋C＝m＋n＝19，即m＋n＝19.而x2的系数为C＋C＝[m(m－1)＋n(n－1)]＝[m2＋n2－(m＋n)]＝[(m＋n)2－2mn－(m＋n)]＝(361－2mn－19)＝171－mn，将m＝19－n代入，可得C＋C＝n2－19n＋171＝(n－)2＋171－.由于n是正整数，所以当n＝9或n＝10时，x2的系数C＋C取最小值81此时m＝10，n＝92或m＝9，n＝10.(2)由(1)知，n＝9且m＝10或n＝10且m＝9，此时f(x)均为f(x)＝(1＋x)9＋(1＋x)10＝(1＋x)9(2＋x)，因为(1＋x)9＝1＋Cx＋Cx2＋…＋Cx8＋Cx9，所以f(x)展开式中x7的系数为2C＋C＝156.3
