2.2等差数列自主广场我夯基我达标1.已知数列{an}的通项公式为an=2(n+1)+3,则此数列()A.是公差为2的等差数列B.是公差为3的等差数列C.是公差为5的等差数列D.不是等差数列思路解析:已知a1=7,an-an-1=2(n≥2),故这是一个以2为公差的等差数列.也可根据等差数列通项公式an=dn+(a1-d)知d=2.答案:A2.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于()A.40B.42C.43D.45思路解析:在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,∴d=3.∴a5=14.则a4+a5+a6=3a5=42.答案:B3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7=35,则a4等于()A.8B.7C.6D.5思路解析:S7=7a4=35,∴a4=5.答案:D4.已知等差数列{an}中,a2=7,a4=15,则前10项的和S10等于()A.100B.210C.380D.400思路解析:d=27152424aa=4,a1=3,所以S10=210.答案:B5.等差数列{an}的前m项和为30,前2m项和为100,则它的前3m项和为()A.130B.170C.210D.260思路解析:令m=1,则Sm=S1=a1=30,S2m=S2=a1+a2=100,则有a1=30,a2=70,d=40,则a3=110,故S3m=S3=S2+a3=100+110=210.注:也可以用Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列求解.答案:C6.在各项均不为零的等差数列{an}中,若an+1-an2+an-1=0(n≥2),则S2n-1-4n等于()A.-2B.0C.1D.2思路解析:设公差为d,则an+1=an+d,an-1=an-d,由an+1-an2+an-1=0(n≥2),得2an-an2=0,解得an=2(零解舍去),故S2n-1-4n=2×(2n-1)-4n=-2.答案:A7.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,则S9=___________.思路解析:设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,由题意,得4a1+d2)14(4=14,［10a1+d2)110(10］-［7a1+d2)17(7］=30,联立解得a1=2,d=1,所以S9=9×2+2)19(9·1=54.答案:5418.若两个等差数列的前n项和之比是(7n+1)∶(4n+27),则它们的第11项之比为_____________.思路解析:方法一:设数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}的前n项和为Tn,则a11=2211aa,b11=2211bb,∴3427214121721)(2121)(21)(21)(2121212112112112111111TSbbaabbaaba.方法二:等差数列前n项和是关于n的二次函数,则可设Sn=(7n+1)·nk,Tn=(4n+27)·nk,由an=Sn-Sn-1=k(14n-6),得a11=148k,n≥2.bn=Tn-Tn-1=k(8n+23),得b11=111k.∴341111481111ba.答案:34我综合我发展9.设数列{an}、{bn}、{cn}满足:bn=an-an+2,cn=an+2an+1+3an+2(n=1,2,3,…).求证:{an}为等差数列的充分必要条件是{cn}为等差数列且bn≤bn+1(n=1,2,3,…).证明:必要性:设{an}是公差为d1的等差数列,则bn+1-bn=(an+1-an+3)-(an-an+2)=(an+1-an)-(an+3-an+2)=d1-d1=0.∴bn≤bn+1(n=1,2,3,…)成立.又cn+1-cn=(an+1-an)+2(an+2-an+1)+3(an+3-an+2)=d1+2d1+3d1=6d1(常数)(n=1,2,3,…),∴数列{cn}为等差数列.充分性:设数列{cn}是公差为d2的等差数列,且bn≤bn+1(n=1,2,3,…),∵cn=an+2an+1+3an+2,①∴cn+2=an+2+2an+3+3an+4.②①-②,得cn-cn+2=(an-an+2)+2(an+1-an+3)+3(an+2-an+4)=bn+2bn+1+3bn+2.∵cn-cn+2=(cn-cn+1)+(cn+1-cn+2)=-2d2,∴bn+2bn+1+3bn+2=-2d2.③从而有bn+1+2bn+2+3bn+3=-2d2.④④-③,得(bn+1-bn)+2(bn+2-bn+1)+3(bn+3-bn+2)=0.⑤∵bn+1-bn≥0,bn+2-bn+1≥0,bn+3-bn+2≥0,∴由⑤得bn+1-bn=0(n=1,2,3,…).由此不妨设bn=d3(n=1,2,3,…),则an-an+2=d3(常数).由此cn=an+2an+1+3an+2=4an+2an+1-3d3.⑥从而cn+1=4an+1+2an+2-3d3,⑦⑦-⑥,得cn+1-cn=2(an+1-an)-2d3.2因此an+1-an=21(cn+1-cn)+d3=21d2+d3(常数)(n=1,2,3,…).∴数列{an}为等差数列.10.某地区1997年年底沙漠面积为9×105hm2.地质工作者为了解这个地区沙漠面积的变化情况,从1998年开始进行了连续5年的观测,并在每年底将观测结果记录如下表:观测年份该地区沙漠面积比原有面积增加数/hm219982000199940002000600120017999200210001请根据上表所给的信息进行预测.(1)如果不采取任何措施,到2010年年底,这个地区的沙漠面积将大约变成多少?(2)如果从2003年年初开始,采取植树造林等措施,每年改造8000hm2沙漠,但沙漠面积仍按原有速度增加,那么到哪一年年底,这个地区的沙漠面积将小于8×105hm2?思路分析:从增加数看,数字稳定在2000附近,所以可认为沙漠面积的增加值构成一个等差数列.求2010年底的沙漠面积可利用数列的通项公式,首项可以选2002年的增加数,当然也可用其他年份的增加数为首项.列出经过n年后的沙漠面积,再根据已知列出不等式.解:(1)从表中的数据看,该地区每年沙漠面积比原有面积的增加数是一个等差数列,公差约为d=2000,a2010=a2002+8d=10001+2000×8≈0.26×105hm2,再加上原有的沙化面积9×105hm2,到2010年年底,该地区的沙漠面积大约变成9.26×105hm2.(2)设在2002年的基础上,再经过n年,该地区的沙漠面积将小于8×105hm2,由10001+2000n-8000n+9×105＜8×105,得n＞18.3,即再过19年,到2021年年底,该地区沙漠面积将小于8×105hm2.3
