2.2.1双曲线的定义与标准方程[A基础达标]1．动点P到点M(1，0)及点N(3，0)的距离之差为2，则点P的轨迹是()A．双曲线B．双曲线的一支C．两条射线D．一条射线解析：选D.由已知|PM|－|PN|＝2＝|MN|，所以点P的轨迹是一条以N为端点的射线．2．已知两定点F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，则当a＝3和5时，P点的轨迹为()A．双曲线和一条直线B．双曲线和一条射线C．双曲线的一支和一条射线D．双曲线的一支和一条直线解析：选C.当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|＝10表示双曲线的一支；当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝10＝|F1F2|，此时P点轨迹是一条射线，故选C.3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为()A．(，0)B．(，0)C．(，0)D．(，0)解析：选C.将双曲线方程化为标准形式x2－＝1，所以a2＝1，b2＝，所以c＝＝，所以右焦点坐标为(，0)．故选C.4．设F1，F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，PF1·PF2的值为()A．2B．3C．4D．6解析：选B.设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4，S△PF1F2＝|F1F2||y0|＝2|y0|＝2，所以|y0|＝1.又－y＝1，所以x＝3(y＋1)＝6.所以PF1·PF2＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.5．已知双曲线－＝1的焦点为F1，F2，点M在双曲线上，且MF1⊥x轴，则F1到直线F2M的距离为()A.B.C.D.解析：选C.不妨设点F1(－3，0)，容易计算得出|MF1|＝＝，|MF2|－|MF1|＝2.解得|MF2|＝.而|F1F2|＝6，在直角三角形MF1F2中，由|MF1|·|F1F2|＝|MF2|·d，求得F1到直线F2M的距离d为.6．已知动点P(x，y)满足－＝2，则动点P的轨迹是________．解析：－＝2即动点P(x，y)到两定点(－2，0)，(2，0)的距离之差等于2，由双曲线定义1知动点P的轨迹是双曲线的一支．答案：双曲线的一支7．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标是3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：因为－＝1，所以当x＝3时，y＝±.又因为F2(4，0)，所以|AF2|＝1，|MA|＝，所以|MF2|＝＝4.答案：48．已知F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为________．解析：因为P为双曲线－y2＝1上的一个点且F1、F2为焦点，所以||PF1|－|PF2||＝2a＝4，|F1F2|＝2c＝2.因为∠F1PF2＝90°，所以在Rt△PF1F2中，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝20.因为(|PF1|－|PF2|)2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝16，所以20－2|PF1||PF2|＝16.所以|PF1|·|PF2|＝2.所以S△F1PF2＝|PF1|·|PF2|＝1.答案：19．已知方程＋＝1表示的图形是：(1)双曲线；(2)椭圆；(3)圆．试分别求出k的取值范围．解：(1)方程表示双曲线需满足(2－k)(k－1)＜0，解得k＞2或k＜1.即k的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．(2)方程表示椭圆需满足解得1＜k＜2且k≠.即k的取值范围是(1，)∪(，2)．(3)方程表示圆需有2－k＝k－1＞0，即k＝.10．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线－＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝a2＋b2＝16＋9＝25，所以c＝5.设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意，c＝5，所以b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为－＝1，点P在双曲线上，所以－＝1.化简得，4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝.又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意．所以所求双曲线的标准方程是x2－＝1.[B能力提升]11．已知椭圆＋＝1和双曲线－y2＝1的公共焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，那么cos∠F1PF2的值是()A.B.C.D.解析：选A.不妨设点P在第一象限，F1，F2分别为左、右焦点，因为P在椭圆上，所以|PF1|2＋|PF2|＝2.又P在双曲线上，所以|PF1|－|PF2|＝2，两式联立，得|PF1|＝＋，|PF2|＝－.又|F1F2|＝4，根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2＝.12．已知双曲线的一个焦点为F1(－，0)，点P在双曲线上，且线段PF1的中点坐标为(0，2)，则此双曲线的标准方程是()A.－y2＝1B．x2－＝1C.－＝1D.－＝1解析：选B.由双曲线的焦点可知c＝，线段PF1的中点坐标为(0，2)，所以P(，4)．设右焦点为F2，则有|PF2|＝4，且PF2⊥x轴，点P在双曲线右支上．所以|PF1|＝＝＝6，所以|PF1|－|PF2|＝6－4＝2＝2a，所以a...
