（新课标）高考数学一轮总复习 第八章 平面解析几何 8-10 圆锥曲线的综合问题课时规范练 理（含解析）新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP免费

8-10圆锥曲线的综合问题课时规范练(授课提示：对应学生用书第317页)A组基础对点练1．已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．解析：(1)设F(c,0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1,2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线PQ的距离d＝，所以△OPQ的面积S△OPQ＝d|PQ|＝.设＝t，则t>0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ>0，所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－2或y＝－x－2.2．(2016·高考北京卷)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，A(a,0)，B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：|AN|·|BM|为定值．解析：(1)由题意得解得a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而|BM|＝|1－yM|＝.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0，得xN＝－，从而|AN|＝|2－xN|＝.所以|AN|·|BM|＝··＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，所以|AN|·|BM|＝4.综上，|AN|·|BM|为定值．3．已知椭圆E：＋＝1的右焦点为F(c,0)且a>b>c>0，设短轴的一个端点为D，原点O到直线DF的距离为，过原点和x轴不重合的直线与椭圆E相交于C，G两点，且|GF|＋|CF|＝4.(1)求椭圆E的方程；(2)是否存在过点P(2,1)的直线l与椭圆E相交于不同的两点A，B且使得OP2＝4PA·PB成立？若存在，试求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．解析：(1)由椭圆的对称性知|GF|＋|CF|＝2a＝4，∴a＝2.又原点O到直线DF的距离为，∴＝，∴bc＝，又a2＝b2＋c2＝4，a>b>c>0，∴b＝，c＝1.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)当直线l与x轴垂直时不满足条件．故可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为y＝k(x－2)＋1，代入椭圆方程得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0，∴x1＋x2＝，x1x2＝，Δ＝32(6k＋3)>0，∴k>－. OP2＝4PA·PB，即4[(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)]＝5，∴4(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝5，即4[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝5，∴4·(1＋k2)＝4×＝5，解得k＝±，k＝－不符合题意，舍去，∴存在满足条件的直线l，其方程为y＝x.4．(2018·广西柳州摸底)已知抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴上，且抛物线上有一点P(4，a)到焦点的距离为5.(1)求该抛物线C的方程；(2)已知抛物线上一点M(b,4)，过点M作抛物线的两条弦MD和ME，且MD⊥ME，判断直线DE是否过定点？并说明理由．解析：(1)由题意设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，其准线方程为x＝－， P(4，a)到焦点的距离等于P到准线的距离，∴4＋＝5，∴p＝2.∴抛物线C的方程为y2＝4x.(2)由(1)可得点M(4,4)，可得直线DE的斜率不为0，设直线DE的方程为x＝my＋t，联立得y2－4my－4t＝0，则Δ＝16m2＋16t>0.(*)设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4t. MD·ME＝(x1－4，y1－4)·(x2－4，y2－4)＝x1x2－4(x1＋x2)＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝·－4＋16＋y1y2－4(y1＋y2)＋16＝－(y1＋y2)2＋3y1y2－4(y1＋y2)＋32＝t2－16m2－12t－16m＋32＝0，即t2－12t＋32＝16m2＋16m，得(t－6)2＝4(2m＋1)2，∴t－6＝±2(2m＋1)，即t＝4m＋8或t＝－4m＋4，代入(*)式检验知t＝4m＋8满足Δ>0，当t＝－4m＋4时，直线DE过点M，不合题意，舍去．∴直线DE的方程为x＝my＋4m＋8＝m(y＋4)＋8.∴直线过定点(8，－4)．B组能力提升练1．(2017·高考浙江卷)如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.(1)求直线AP斜率的取值范围；(2)求|PA|·|PQ|的最大值．解析：(1)设直线AP的斜率为k，k＝＝x－，因为－