第2章圆锥曲线2.1直线与球的位置关系2.2平面与球的关系学业分层测评北师大版选修4-1(建议用时：45分钟)学业达标]一、选择题1.正方体的表面积是a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是()A.B.C.πaD.2πa【解析】设正方体的棱长为x，则a＝6x2，而球半径R＝x，∴S球＝4πR2＝3πx2＝.【答案】B2.把一个半径为R的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比为1∶2，则其中较小球半径为()A.RB.RC.RD.R【解析】设较小球半径为r，则另一球半径为2r，∴πr3＋π(2r)3＝πR3，∴r3＝R3，∴r＝R.【答案】B3.(全国卷Ⅲ)在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是()【导学号：96990046】A.4πB.C.6πD.【解析】设球的半径为R， △ABC的内切圆半径为＝2，∴R≤2.又2R≤3，∴R≤，∴Vmax＝π3＝π.故选B.【答案】B4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为()A.2∶3∶5B.2∶3∶4C.3∶5∶8D.4∶6∶9【解析】设球的半径为1，则球的外切圆柱的底面半径为1，高为2；球的外切等边圆锥的底面半径为，高为3，所以球的体积为V1＝π，圆柱的体积为V2＝π×12×2＝2π，圆锥的体积为V3＝×π()2×3＝3π，所以V1∶V2∶V3＝π∶2π∶3π＝4∶6∶9.【答案】D5.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么球的半径为()A.4B.2C.2D.【答案】B二、填空题6.平面α与球O相交，交线圆圆心为O1，若OO1＝3，交线圆半径为4，则球O的半径为________.1【解析】设球O的半径为R，由题意知R2＝32＋42＝25，∴R＝5.【答案】57.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是________.【解析】三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R，则有(2R)2＝()2＋()2＋()2＝9，∴外接球的表面积为S＝4πR2＝9π.【答案】9π8.如图217所示，已知球O的面上四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝，则球O的体积等于________.图217【解析】 DA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，AC⊂平面ABC，∴DA⊥BC，DA⊥AC.又BC⊥AB，AB∩DA＝A，∴BC⊥平面ABD，∴BC⊥DB，则DC的中点即为球心O.又DA＝AB＝BC＝，∴AC＝，DC＝3，∴球O的体积V球＝π＝.【答案】三、解答题9.已知半径为R的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到桌面的距离.【解】设四个球的球心分别为O1，O2，O3，O4，将它们两两连接恰好组成一个正三棱锥，各棱长均为2R，如图作O1H⊥面O2O3O4，垂足为H，则O1H为棱锥的高.连接O4H，则O4H＝R. △O1HO4为直角三角形，∠O1HO4＝90°，∴O1H＝R，∴从上面一个球的球心到桌面的距离为R.10.若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高.【解】如图，设正四面体边长为x，设球半径为R.∴AH＝x,4πR2＝36π.∴R＝3，在Rt△AHS中，SH2＝SA2－AH2，∴SH2＝x2－2＝x2，2＋2＝9，2∴x＝2∴SH＝4，故正四面体的高为4.能力提升]1.半径为R的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌面上，则小球的半径为()A.RB.RC.RD.R【答案】C2.某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为2R，高为20R的圆柱形筐(有盖也有下底)，用来盛放半径为R的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为()A.12B.13C.24D.26【解析】设A，B为同一层球的球心，C，D为相邻一层的球心，这四个球心A，B，C，D的连线刚好构成一个正四面体，相邻两层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF(如图所示).易求得EF＝R，＝12.7.共13个“间隔”，即共放了13层，∴13×2＝26.∴该筐最多可放篮球的个数为26.【答案】D3.如图218所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，则容器内的水深是__________.图218【解析】由题意，轴截面PAB为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r，水面半径为r，容器内水的体积就是V＝V圆锥－V球＝π(r)2·3r－πr3＝πr3.将球取出后，设容器中水的深度为h，则水面半径为h.此时容器内水的体积...
