解答题(二)17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，已知2acos2＋2ccos2＝b.(1)求证：2(a＋c)＝3b；(2)若cosB＝，S＝，求b.解(1)证明：由已知得，a(1＋cosC)＋c(1＋cosA)＝b.由余弦定理可得a＋c＝b，即2(a＋c)＝3b.(2) cosB＝(B∈(0，π))，∴sinB＝. S＝acsinB＝ac＝，∴ac＝8.又b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，2(a＋c)＝3b，∴b2＝－16×.∴b＝4.18．(2019·河北唐山一模)如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，∠ABC＝90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB＝BE.(1)证明：BC⊥平面PBE；(2)求点F到平面PEC的距离．解(1)证明：因为E，F分别为AB，AC边的中点，所以EF∥BC，因为∠ABC＝90°，所以EF⊥BE，EF⊥PE，又因为BE∩PE＝E，所以EF⊥平面PBE，所以BC⊥平面PBE.(2)如图，取BE的中点O，连接PO，由(1)知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，所以平面PBE⊥平面BCFE，因为PB＝BE＝PE，所以PO⊥BE，又因为PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面BCFE＝BE，所以PO⊥平面BCFE,在Rt△POC中，PC＝＝2，在Rt△EBC中，EC＝＝2，在△PEC中，PC＝EC＝2，PE＝2，所以S△PEC＝，又S△ECF＝2，设点F到平面PEC的距离为d，由VF－PEC＝VP－ECF得S△PEC·d＝S△ECF·PO，即×d＝2×，所以d＝.即点F到平面PEC的距离为.19．(2019·黑龙江哈尔滨六中第二次模拟)某大型商场去年国庆期间累计生成2万张购物单，从中随机抽出100张，对每单消费金额进行统计得到下表：消费金额(单位：元)[0,200](200,400](400,600](600,800](800,1000]购物单张数252530？？由于工作人员失误，后两栏数据已无法辨识，但当时记录表明，根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单消费金额的中位数与平均数恰好相等．用频率估计概率，完成下列问题：(1)估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中，单笔消费金额超过800元的概率；(2)为鼓励顾客消费，该商场打算在今年国庆期间进行促销活动，凡单笔消费超过600元者，可抽奖一次，中一等奖、二等奖、三等奖的顾客可以分别获得价值500元、200元、100元的奖品．已知中奖率为100%，且一等奖、二等奖、三等奖的中奖率依次构成等比数列，其中一等奖的中奖率为.若今年国庆期间该商场的购物单数量比去年同期增长5%，预测商场今年国庆期间采购奖品的开销．解(1)因消费金额在区间[0,400]的频率为0.5，故中位数估计值即为400.设所求概率为p，而消费金额在(0,600]的概率为0.8，故消费金额在区间(600,800]内的概率为0.2－p.因此消费金额的平均数可估计为100×0.25＋300×0.25＋500×0.3＋700×(0.2－p)＋900×p.令其与中位数400相等，解得p＝0.05.(2)设等比数列公比为q(q＞0)，根据题意＋＋＝1，即q2＋q－20＝0，解得q＝4.故一等奖、二等奖、三等奖的中奖率分别为，，.今年的购物单总数约为20000×1.05＝21000.其中具有抽奖资格的单数为21000×(0.15＋0.05)＝4200，故一等奖、二等奖、三等奖中奖单数可估计为200,800,3200.于是，采购奖品的开销可估计为200×500＋800×200＋3200×100＝580000(元)．20．在平面直角坐标系中，已知点F(1,0)，直线l：x＝－1，动直线l′垂直l于点H，线段HF的垂直平分线交l′于点P，设点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)以曲线C上的点Q(x0，y0)(y0>0)为切点作曲线C的切线l1，设l1分别与x轴、y轴交于A，B两点，且l1恰与以定点M(a,0)(a>2)为圆心的圆相切，当圆M的面积最小时，求△ABF与△QAM面积的比．解(1)由题意得|PH|＝|PF|，∴点P到直线l：x＝－1的距离等于它到定点F(1,0)的距离，∴点P的轨迹是以l为准线，F为焦点的抛物线，∴点P的轨迹C的方程为y2＝4x.(2)解法一：由y2＝4x，当y>0时，y＝2，∴y′＝，∴以Q为切点的切线l1的斜率为k＝，∴以Q(x0，y0)(y0>0)为切点的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－y0＝，整理得4x－2y0y＋y＝0.令x＝0，则y＝，∴B，令y＝0，则x＝－＝－x0，∴A(－x0,0)，点M(a,0)到切线l1的距离d＝＝＋≥2(当且仅当y0＝2时，取等号)．∴当点Q的坐标为(a－2,2)时，满足题意的圆M的面积最小．此时A(2－a,0)，B(0，)．S△ABF＝|1－(2－a)|||＝(a－1)，S△AQM＝|a－(2－a)||2|＝2(a－1)·....
