高中数学3.5平面的法向量同步精练湘教版选修2-11若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3,2)，则()．A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1，l2相交但不垂直D．不能确定2若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为u＝(－2,0，－4)，则()．A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α斜交3平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α与平面β的位置关系是()．A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．不确定4已知平面α内的三个点A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，则平面α的一个法向量是()．A．(1,1,1)B．(－1,1,1)C．(－1，－1,1)D．(1,1，－1)5在正方体ABCD－A1B1C1D1中，EF是异面直线AC和A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是()．A．垂直B．异面不垂直C．相交D．平行6若平面α，β的法向量分别为u＝(1,2，－2)，v＝(－3，－6,6)，则α，β的位置关系为__________．7已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则平面ABC的一个单位法向量是__________．8若平面α，β的法向量分别为u＝(2，－3,5)，v＝(－3,1，－4)，则α，β的关系是________．9在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的法向量．10在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱BC的中点，试在棱CC1上求一点P，使得平面A1B1P⊥平面C1DE.1参考答案1.解析：a·b＝－2＋6－4＝0，∴l1⊥l2.答案：B2.解析：∵u＝－2a，∴u∥a.∴l⊥α.答案：B3.解析：∵(1,2,0)·(2，－1,0)＝2－2＋0＝0，∴两平面垂直．答案：C4.解析：＝(－2,2,0)，＝(－2,0,2)．由(1,1,1)·(－2,2,0)＝0，(1,1,1)·(－2,0,2)＝0，知(1,1,1)是α的一个法向量．答案：A5.解析：如图，连接B1C，由于EF是AC和A1D的公垂线，又∥，则⊥，⊥，即是平面AB1C的法向量，又可证明也是平面AB1C的法向量，故∥，即EF∥BD1.答案：D6.解析：v＝－3(1,2，－2)＝－3u.答案：平行7.解析：设平面ABC的一个单位法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝(x，y，z)·(－1,1,0)＝y－x＝0，n·＝(x，y，z)·(－1,0,1)＝z－x＝0，∴x＝y＝z.又n为单位向量，故x2＋y2＋z2＝1，即x＝y＝z＝或x＝y＝z＝－.答案：(，，)或(－，－，－)8.解析：∵≠≠，且u·v≠0，∴α，β相交不垂直．答案：相交不垂直9.证明：如图，建立空间直角坐标系，2不妨设正方体的棱长为2.则A(2,0,0)，P(0,0,1)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，O(1,1,0)，于是＝(1,1,2)，＝(－2,2,0)，＝(－2,0,1)，由于·＝－2＋2＝0，及·＝－2＋2＝0，∴⊥，⊥.∵AC∩AP＝A，∴⊥平面PAC，即是平面PAC的法向量．10.解：以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则A1(1,0,1)，B1(1,1,1)，E(，1,0)，C1(0,1,1)．设P的坐标为(0,1，a)，则＝(0,1,0)，＝(－1,1，a－1)，＝(，1,0)，＝(0,1,1)．设平面A1B1P的一个法向量为n1＝(x，y，z)，则⇒令z＝1，则x＝a－1，∴平面A1B1P的一个法向量为n1＝(a－1,0,1)．设平面C1DE的一个法向量为n2＝(x，y，z)，则⇒令y＝1，则x＝－2，z＝－1，∴平面C1DE的一个法向量为n2＝(－2,1，－1)．∵平面A1B1P⊥平面C1DE，∴n1·n2＝0⇒－2(a－1)－1＝0，解得a＝.∴当P为CC1的中点时，平面A1B1P⊥平面C1DE.3
