3.3直线的方向向量[A基础达标]1．已知a＝，b＝分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则()A．x＝3，y＝B．x＝，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝3，y＝解析：选D.因为l1∥l2，所以＝＝，所以x＝3，y＝，故选D.2．已知点A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C为线段AB上一点且＝，则点C的坐标为()A.B.C.D.解析：选C.因为C为线段AB上一点，且＝，所以AC＝AB.设C(x，y，z)，则(x－4，y－1，z－3)＝(－2，－6，－2)＝，所以，所以.即C点坐标为.3．已知直线l1的方向向量a＝(2，4，x)，直线l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6且a⊥b，则x＋y的值是()A．－3或1B．3或－1C．－3D．1解析：选A.|a|＝＝6，所以x＝±4，因为a⊥b，所以a·b＝0，即(2，4，±4)·(2，y，2)＝0，所以y＝1或y＝－3.所以x＋y＝4－3＝1或x＋y＝－4＋1＝－3.4．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.B.C.D.解析：选B.如图建系，则D(0，0，0)，F(1，0，0)，D1(0，0，2)，O(1，1，0)，E(0，2，1)．所以OE＝(－1，1，1)，FD1＝(－1，0，2)．所以cos〈OE，FD1〉＝＝＝.5．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若OC＝AB，则C的坐标是()A.B.C.D.答案：A6．已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于2的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA＝2，D为SA的中点，那么直线BD与直线SC所成角的大小为________．解析：建立如图所示的空间直角坐标系．A(0，0，0)，B(，1，0)，C(0，2，0)，D(0，0，)，S(0，0，2)．所以BD＝(－，－1，)，SC＝(0，2，－2)．所以cos〈BD，SC〉＝＝－.所以BD与SC的所成的角为45°.答案：45°7．在空间直角坐标系中，已知P(2cosx＋1，2cos2x＋2，0)和Q(cosx，－1，3)，其中x∈[0，π]，若直线OP与直线OQ垂直，则x的值为________．解析：由题意得OP⊥OQ，所以OP·OQ＝cosx·(2cosx＋1)－(2cos2x＋2)＝0.①由cos2x＝2cos2x－1，①式化简可得2cos2x－cosx＝0，于是cosx＝0或cosx＝.因为x∈[0，π]，所以x＝或x＝.答案：或8．已知A、B、C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为零的实数λ，m，n，使λOA＋mOB＋nOC＝0，那么λ＋m＋n的值等于________．解析：由于A、B、C三点共线，则对空间的任一确定的点O，有OC＝(1－t)OA＋tOB⇔(1－t)OA＋tOB－OC＝0，可把题设条件与其类比，得到所求结论．由λOA＋mOB＋nOC＝0，得OA＝－OB－OC.根据空间共线的向量参数方程有－－＝1⇔－m－n＝λ⇒m＋n＋λ＝0.答案：09.如图，ABEDFC为多面体，平面ABED与平面ACFD垂直，点O在线段AD上，OA＝1，OD＝2，△OAB，△OAC，△ODE，△ODF都是正三角形．证明直线BC∥EF.证明：过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，连接QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，所以FQ⊥QE，FQ⊥DQ.以Q为坐标原点，QE为x轴正方向，QD为y轴正方向，QF为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．由条件知E(，0，0)，F(0，0，)，B(，－，0)，C(0，－，)，则有BC＝(－，0，)，EF＝(－，0，)．所以EF＝2BC，因为B∉EF，即得BC∥EF.10.如图所示，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC夹角的余弦值．解：因为BC＝AC－AB，所以OA·BC＝OA·AC－OA·AB＝|OA|·|AC|·cos135°－|OA|·|AB|cos120°＝8×4×－8×6×＝24－16.设OA与BC的夹角为θ，所以cosθ＝＝＝>0，所以OA与BC夹角的余弦值为.[B能力提升]11.已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB为x轴，OC为y轴，OO1为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1，M.所以MN＝，AB1＝(1，0，1)，所以MN·AB1＝－＋0＋＝0.所以MN⊥AB1，所以AB1⊥MN.12．如图，在空间直角坐标系中有正方体ABCDA1B1C1D1，O1是B1D1的中点．证明：BO1∥平面ACD1.证明：设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)、D1(0，0，2)、C(0，2，0)、O1(1，1，2)、B(2，2，0)，所以AD1＝(－2，0，2)，CD1＝(0，－2，2)，BO1＝(－1，－1，2)．设BO1＝λAD1＋μCD1，则λ(－2，0，2)＋μ(0，－2，...
