2016-2017学年高中数学第三章推理与证明1归纳与类比1.2类比推理课后演练提升北师大版选修1-2一、选择题1．下列哪个平面图形与空间的平行六面体作为类比对象较为合适()A．三角形B．梯形C．平行四边形D．矩形解析：只有平行四边形与平行六面体较为接近，故选C.答案：C2．已知{bn}为等比数列，b5＝2，则b1b2b3…b9＝29.若{an}为等差数列，a5＝2，则{an}的类似结论为()A．a1a2a3…a9＝29B．a1＋a2＋…＋a9＝29C．a1a2…a9＝2×9D．a1＋a2＋…＋a9＝2×9解析：由等差数列性质，有a1＋a9＝a2＋a9＝…＝2a5.易知D成立．答案：D3．类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推知正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是()①各棱长都相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；②各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；③各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等．A．①B．①②C．①②③D．③解析：因为正三角形的边和角可以与正四面体的面(或棱)和相邻的两面所成的二面角(或共顶点的两棱的夹角)类比，所以①②③都恰当．答案：C4．给出下列三个类比结论．①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：③正确．答案：B二、填空题5．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析：∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.答案：1∶86．设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，________，________，成等比数列．解析：T4＝a·q6，＝a·q22，＝a·q38，＝a·q54.所以T4，，，成公比为q16的等比数列，直接用类比法将“差”变“比”即可得出结果．1答案：三、解答题7．如下图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如下图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有什么结论？命题是否是真命题．解析：命题是：三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有S＝S△BCM·S△BCD是一个真命题．证明如下：如右图，连结DM并延长交BC于E，连结AE，则有DE⊥BC.因为AD⊥面ABC，所以AD⊥AE.又AM⊥DE，所以AE2＝EM·ED.于是S＝2＝·＝S△BCM·S△BCD.8．就任一等差数列{an}，计算a7＋a10和a8＋a9，a10＋a40和a20＋a30，你发现了什么一般规律？能把你发现的规律作一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系角度分析这个问题．在等比数列中会有怎样的类似的结论？解析：设等差数列{an}的公差为d，则an＝a1＋(n－1)d，从而a7＝a1＋6d，a10＝a1＋9d，a8＝a1＋7d，a9＝a1＋8d.所以a7＋a10＝2a1＋15d，a8＋a9＝2a1＋15d，可得a7＋a10＝a8＋a9.同理a10＋a40＝a20＋a30.由此猜想，任一等差数列{an}，若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有am＋an＝ap＋aq成立．类比等差数列，可得等比数列{an}的性质：若m，n，p，q∈N＋且m＋n＝p＋q，则有am·an＝ap·aq成立．9．设f(x)＝，类比课本中推导等差数列前n项和公式的方法，求f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值．解析：∵f(x)＝，∴f(x)＋f(1－x)＝＋＝＋＝＝＝.令S＝f(－5)＋f(－4)＋…＋f(5)＋f(6)则S＝f(6)＋f(5)＋…＋f(－4)＋f(－5)∴2S＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(5)＋f(－4)]＋[f(6)＋f(－5)]＝12×＝6.2∴S＝3.3
