高中数学第2章推理与证明2.1.3推理案例赏析自主练习苏教版选修2-2我夯基我达标1.已知一个命题P(k)，这里k=2n(n∈N*)，当n=1，2，…，999时，P(k)成立，并且当n=999+1时它也成立.则下列命题中正确的是()A.P(k)对于k=2002成立B.P(k)对于每一个自然数k成立C.P(k)对于每一个偶数k成立D.P(k)对于某个偶数可能不成立思路解析：由已知k=2,4,6,…,2000时命题成立，其他数成立不成立不确定.答案:D2.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na+b)+c对一切n∈N*都成立.则a=__________，b=__________,c=__________.思路解析：法一：错位相减法，求左边的和.设Sn=1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1，3Sn=1×3+2×32+3×33+…+(n-1)·3n-1+n·3n，∴-2Sn=1+3+32+33+…+3n-1-n·3n=-n·3n=(-n)·.∴Sn=()·=3n(na+b)+c.∴a=,b=,c=.法二：令n=1,2,3,解方程组.答案:3.等式：12+22+32+…+n2=，则()A.n为任何自然数时都成立B.仅当n=1,2,3时成立C.n=4时成立，n=5时不成立D.仅当n=4时不成立思路解析：先将n=1、2、3、4、5分别代入验证.答案:B4.观察：(a-b)(a+b)=a2-b2；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3；(a-b)(a3+a2b+ab2+b3)=a4-b4；……猜出___________=an-bn.思路解析：观察式子，找规律.答案:(a-b)(an-1+an-2b+an-3b2+…+a2bn-3+abn-2+bn-1)5.1=1;1-4=-(1+2);1-4+9=1+2+3;1-4+9-16=-(1+2+3+4);……则第n个式子为_____________.思路解析：观察左、右两边的数及其变化1答案:1-4+9-16+…+(-1)n-1·n2=(-1)n-1(1+2+…+n)我综合我发展6.正三角形内的任意一点到三边的距离之和是一个定值.(1)用面积方法证明这个命题；(2)将这个命题类比到空间中去，并用体积法证明.思路分析：将三角形分割为三个三角形，并类比到空间，正三角形对应正四面体解：(1)设点O是正△ABC内任意一点，它到三边距离分别为h1、h2、h3,正△ABC的高为h，则S△OAB+S△OBC+S△OCA=S△ABC.∴AB·h.∴h1+h2+h3=h.(2)正四面体中任意一点到各面的距离之和是一定值.设O为正四面体A—BCD内任意一点，到各面的距离分别为h1、h2、h3、h4,正四面体的高为h.则VO—ABC+VO—ABD+VO—ACD+VO—BCD=VA—BCD,即.∴h1+h2+h3+h4=h.7.(2004上海春季高考,20)如图2-1-17所示，点P为斜三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱BB1上一点，PM⊥BB1交AA1于点M，PN⊥BB1交CC1于点N.图2-1-17(1)求证：CC1⊥MN；(2)在任意△DEF中有余弦定理：DE2=DF2+EF2-2DF·EFcos∠DFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并加以证明.思路分析：本题通过类比将平面内余弦定理扩展到空间.证明：(1)∵CC1∥BB1，∴CC1⊥PM，CC1⊥PN.∴CC1⊥平面PMN.∴CC1⊥MN.(2)在斜三棱柱ABC—A1B1C1中，有,其中α为侧面AA1B1B与侧面CC1B1B成的二面角.在△PMN中，MN2=PM2+PN2-2PM·PNcosα,两边同乘以侧棱长BB12即可得到结论.8.(经典回放)若M、N是椭圆C：=1(a＞b＞0)上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM，kPN，那么kPM·kPN之积是与点P位置无2关的定值.试对双曲线=1(a＞0,b＞0)写出具有类似特征的性质，并加以证明.思路分析：利用类比得相同的结论，用圆锥曲线的知识给出证明.解：若M、N是双曲线上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM·kPN是与点P位置无关的定值.设点M(m,n),则点N(-m,-n)，其中.又设P(x,y)，从而kPM=,kPN=,从而kPM·kPN=.注意到代入上式有kPM·kPN=.3
