选修1-13.3.1利用导数判断函数的单调性一、选择题1．函数y＝xlnx在区间(0,1)上是()A．单调增函数B．单调减函数C．在(0，)上是减函数，在(，1)上是增函数D．在(0，)上是增函数，在(，1)上是减函数[答案]C[解析]f′(x)＝lnx＋1，当00.2．若在区间(a，b)内有f′(x)＞0，且f(a)≥0，则在(a，b)内有()A．f(x)＞0B．f(x)＜0C．f(x)＝0D．不能确定[答案]A[解析] 在区间(a，b)内有f′(x)>0，且f(a)≥0，∴函数f(x)在区间(a，b)内是递增的，且f(x)>f(a)≥0.3．设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a＞0)，则f(x)为增函数的一个充分条件是()A．b2－4ac＞0B．b＞0，c＞0C．b＝0，c＞0D．b2－3ac＞0[答案]C[解析]f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，又a>0，∴当b＝0，c>0时，f′(x)>0恒成立．4．函数f(x)＝2x2－ln2x的单调递增区间是()A．(0，)B．(0，)C．(，＋∞)D．(－，0)及(0，)[答案]C[解析]函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝4x－，令f′(x)>0，得x>，∴函数f(x)在上单调递增．5．函数y＝x＋lnx的单调递增区间为()A．(－∞，－1)，(0，＋∞)B．(－∞，－1)，(1，＋∞)C．(－1,0)D．(－1,1)[答案]A[解析]令f′(x)＝1＋＝>0.得x>0或x<－1.6．下列函数中在区间(－1,1)上是减函数的是()1A．y＝2－3x2B．y＝lnxC．y＝D．y＝sinx[答案]C[解析]对于函数y＝，其导数y′＝<0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y＝在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C.7．(2009·湖南文，7)若函数y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是()[答案]A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义． 导函数f′(x)是增函数，∴切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大，故选A.[说明]B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′(x)为常数，D图中切线斜率先增大后减小．8．给出下列结论：①单调增函数的导函数也是单调增函数；②单调减函数的导函数也是单调减函数；③单调函数的导函数也是单调函数；④导函数是单调的，则原函数也是单调的．其中正确的结论个数是()A．0B．2C．3D．4[答案]A[解析]举反例的方法：如函数y＝x是单调增函数，但其导函数y′＝1不具有单调性，排除①③，如函数y＝－x是单调减函数，但其导函数y′＝－1不具有单调性，排除②，再如函数y＝x2，其导函数y′＝2x是单调的，但原函数不具有单调性，排除④.9．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能为()2[答案]D[解析]函数y＝f(x)在区间(－∞，0)上单调增，则导函数y＝f′(x)在区间(－∞，0)上函数值为正，排除A、C，原函数y＝f(x)在区间(0，＋∞)上先增再减，最后再增，其导函数y＝f′(x)在区间(0，＋∞)上函数值先正、再负、再正，排除B，故选D.10．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1在区间(－∞，0)和(2，＋∞)内单调递增，在区间(0,2)内单调递减，则a的值为()A．1B．2C．－6D．－12[答案]C[解析]f′(x)＝6x2＋2ax，令6x2＋2ax<0，当a>0时，解得－0，得x<－或x>1.12．若函数y＝x3－ax2＋4在(0,2)内单调递减，则实数a的取值范围是____________．[答案][3，＋∞)[解析]y′＝3x2－2ax，由题意知3x2－2ax≤0在区间(0,2)内恒成立，即a≥x在区间(0,2)上恒成立，∴a≥3.13．函数f(x)＝xlnx(x＞0)的单调递增区间是________．[答案][，＋∞)[解析] f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，令f′(x)>0，即lnx>－1，∴x>.∴增区间为[，＋∞)．14．三次函数f(x)＝ax3＋x在(－∞，＋∞)内是增函数，则a的取值范围是________．[答案]a>0[解析]f(x)＝3ax2＋1，由条件知3ax2＋1≥0在R上恒成立，且a≠0，∴解得a>0.三、解答题15．求函数f(x)＝x3＋x2－6x的单调区间．[解析] f′(x)＝x2＋x－6＝(x＋3)(x－2)，令f′(x)>0得，x>2或x<－3.∴函数f(x)在(2，＋∞)和(－∞，－3)上是增函数，令f′(x)<0，得－3
