选修1-13.3.1利用导数判断函数的单调性一、选择题1.函数y=xlnx在区间(0,1)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在(0,)上是减函数,在(,1)上是增函数D.在(0,)上是增函数,在(,1)上是减函数[答案]C[解析]f′(x)=lnx+1,当00.2.若在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,则在(a,b)内有()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.不能确定[答案]A[解析] 在区间(a,b)内有f′(x)>0,且f(a)≥0,∴函数f(x)在区间(a,b)内是递增的,且f(x)>f(a)≥0.3.设f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0),则f(x)为增函数的一个充分条件是()A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b2-3ac>0[答案]C[解析]f′(x)=3ax2+2bx+c,又a>0,∴当b=0,c>0时,f′(x)>0恒成立.4.函数f(x)=2x2-ln2x的单调递增区间是()A.(0,)B.(0,)C.(,+∞)D.(-,0)及(0,)[答案]C[解析]函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=4x-,令f′(x)>0,得x>,∴函数f(x)在上单调递增.5.函数y=x+lnx的单调递增区间为()A.(-∞,-1),(0,+∞)B.(-∞,-1),(1,+∞)C.(-1,0)D.(-1,1)[答案]A[解析]令f′(x)=1+=>0.得x>0或x<-1.6.下列函数中在区间(-1,1)上是减函数的是()1A.y=2-3x2B.y=lnxC.y=D.y=sinx[答案]C[解析]对于函数y=,其导数y′=<0,且函数在区间(-1,1)上有意义,所以函数y=在区间(-1,1)上是减函数,其余选项都不符合要求,故选C.7.(2009·湖南文,7)若函数y=f(x)的导函数在区间[a,b]上是增函数,则函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象可能是()[答案]A[解析]考查导函数的基本概念及导数的几何意义. 导函数f′(x)是增函数,∴切线的斜率随着切点横坐标的增大逐渐增大,故选A.[说明]B图中切线斜率逐渐减小,C图中f′(x)为常数,D图中切线斜率先增大后减小.8.给出下列结论:①单调增函数的导函数也是单调增函数;②单调减函数的导函数也是单调减函数;③单调函数的导函数也是单调函数;④导函数是单调的,则原函数也是单调的.其中正确的结论个数是()A.0B.2C.3D.4[答案]A[解析]举反例的方法:如函数y=x是单调增函数,但其导函数y′=1不具有单调性,排除①③,如函数y=-x是单调减函数,但其导函数y′=-1不具有单调性,排除②,再如函数y=x2,其导函数y′=2x是单调的,但原函数不具有单调性,排除④.9.设函数f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图所示,则导函数y=f′(x)的图象可能为()2[答案]D[解析]函数y=f(x)在区间(-∞,0)上单调增,则导函数y=f′(x)在区间(-∞,0)上函数值为正,排除A、C,原函数y=f(x)在区间(0,+∞)上先增再减,最后再增,其导函数y=f′(x)在区间(0,+∞)上函数值先正、再负、再正,排除B,故选D.10.如果函数f(x)=2x3+ax2+1在区间(-∞,0)和(2,+∞)内单调递增,在区间(0,2)内单调递减,则a的值为()A.1B.2C.-6D.-12[答案]C[解析]f′(x)=6x2+2ax,令6x2+2ax<0,当a>0时,解得-0,得x<-或x>1.12.若函数y=x3-ax2+4在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围是____________.[答案][3,+∞)[解析]y′=3x2-2ax,由题意知3x2-2ax≤0在区间(0,2)内恒成立,即a≥x在区间(0,2)上恒成立,∴a≥3.13.函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是________.[答案][,+∞)[解析] f′(x)=(xlnx)′=lnx+1,令f′(x)>0,即lnx>-1,∴x>.∴增区间为[,+∞).14.三次函数f(x)=ax3+x在(-∞,+∞)内是增函数,则a的取值范围是________.[答案]a>0[解析]f(x)=3ax2+1,由条件知3ax2+1≥0在R上恒成立,且a≠0,∴解得a>0.三、解答题15.求函数f(x)=x3+x2-6x的单调区间.[解析] f′(x)=x2+x-6=(x+3)(x-2),令f′(x)>0得,x>2或x<-3.∴函数f(x)在(2,+∞)和(-∞,-3)上是增函数,令f′(x)<0,得-3