分类讨论实现问题转化的重要思想方法 试题VIP免费

分类讨论——实现问题转化的重要思想方法解题的实质是转化，即将复杂的问题转化为简单的问题、将不熟悉的问题转化为熟悉的问题．在解决数学问题的过程中，有一些问题很难整体性的转化为另一个熟悉的问题，而更容易等价的转化为几个比较熟悉的问题．这种“化整为零，各个击破”的解决问题的思想就是分类讨论．掌握分类讨论这一数学思想方法的关键是确定分类标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论，而做到这些并不容易．以下，我们从分析掌握分类讨论所必备的条件着手，并通过几个典型例题的解析，揭示在解题过程中应该在什么情况下分类讨论、以及应该如何分类等解题策略，请同学们认真感受分类讨论思想在解题中的运用．一、明确概念的内涵是做好分类讨论的前提概念是思维的细胞，所有数学概念都有其明确的内涵，在解决问题过程中，凡是涉及到相关的概念问题，当不能直接解答时，一般都应以所定义的概念来进行分类讨论，讨论时要注意概念所受的限制条件．例1、设为实常数，问方程表示的曲线是何种曲线？解析：方程表示何种曲线主要取决于的取值，可对分以下三种情形讨论：（1）当时，方程变为，表示直线；（2）当时，方程变为，表示直线；（3）当时，方程变为，又有以下五种情形讨论：①当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线；②当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；③当时，方程表示圆心在圆点的圆；④当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的椭圆；⑤当时，方程表示中心在原点，焦点在轴上的双曲线．解题点评：解此类问题的关键是要明确每一种曲线的标准方程的概念，并依据概念的内涵对参数进行分类．例2、已知函数和的图象关于原点对称，且．（1）求函数的解析式；（2）解不等式；（3）若h(x)＝＋1在[－1，1]上是增函数，求实数的取值范围．解析：（1）解答略.（2）由可得：，此时解此不等式就需要根据绝对值的意义来分类讨论去掉绝对值符号，使问题转化为解两个不带绝对值的不等式问题．当1时，，此时不等式无解；当时，．因此，原不等式的解集为[-1,].（3）因为二次项系数带有参数，故需对的取值进行讨论，使问题转化为明确的一次或二次函数问题．①当时，＝在[-1,1]上是增函数，．②当时，二次函数对称轴的方程为．(i)当时，，解得；(ii)当时，1时，解得．综上：．解题点评：解绝对值不等式最常用的方法就是利用“零点分区间法”划分分类讨论的层次，去掉绝对值，把它转化为不含绝对值的不等式．对于含有参数的函数或方程表达式，解题中经常需要明确表达式代表何种函数或方程，此时，常常需要对参数进行分类讨论．二、掌握公式或命题成立的条件是做好分类讨论的必要条件许多数学公式或命题都是在一定的条件下成立的，如等比数列的前n项和公式、极限的计算；还有不等式的基本性质、二次函数、指数函数与对数函数的性质等，这些性质成立的条件是进行分类讨论的依据．例3、解关于的不等式解析：解这类根式方程常常需要实施不等式的基本性质：若，则将不等式中的根号去掉．考虑到该不等式性质成立的条件，首先必须分类讨论的符号．（1）当时，，又，从而．对原不等式两边平方得，所以．综上，有．（2）当时，，∴.综上有.又根据对数函数的单调性对进行分类讨论：①若时，不等式的解集为.②若时，不等式的解集为.解题点评：利用运算性质和函数的图像性质进行分类是中学数学学习阶段最常见的分类方法．例4、设首项为，公比为的等比数列的前项和为，又设，求．解析：首先应根据等比数列前项和公式对讨论，然后再根据极限的定义再对进行讨论．设所求等比数列为，公比为（1）当时，有，∴．（2）当时，有，，①若，则，②若，则．综上可知：当时，；当时，．解题点评：许多公式，如等比数列的前n项和公式、极限的计算公式等都有适用条件，这正是分类讨论的依据．三、逻辑思维能力是做好分类讨论的保障由于分类讨论一方面需要对研究对象进行不重复、不遗漏的分类，另一方面还要对每一类别进行系统讨论．在这个过程中，逻辑思维能力是实现讨论中严谨推理的保障．在一些比较复杂的问题或实际问题中，我们可以充分地感受到这一点．例5、某车间有名工人，其中4人仅会车工...