课时作业23解三角形应用举例一、选择题1．(2018·武汉三中月考)如图，两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站南偏西40°方向上，灯塔B在观察站南偏东60°方向上，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°方向上B．北偏西10°方向上C．南偏东80°方向上D．南偏西80°方向上解析：由条件及题图可知，∠A＝∠ABC＝40°，因为∠BCD＝60°，所以∠CBD＝30°，所以∠DBA＝10°，因此灯塔A在灯塔B南偏西80°方向上．答案：D2．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18km，速度为1000km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1km)()A．11.4kmB．6.6kmC．6.5kmD．5.6km解析： AB＝1000×1000×＝m，∴BC＝·sin30°＝m.∴航线离山顶h＝×sin75°≈11.4km.∴山高为18－11.4＝6.6km.答案：B3．某船开始看见灯塔在南偏东30°方向，后来船沿南偏东60°的方向航行15km后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是()A．5kmB．10kmC．5kmD．5km解析：作出示意图(如图)，点A为该船开始的位置，点B为灯塔的位置，点C为该船后来的位置，所以在△ABC中，有∠BAC＝60°－30°＝30°，B＝120°，AC＝15，由正弦定理，得＝，即BC＝＝5，即这时船与灯塔的距离是5km.答案：C4．在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝120°，AB＝4，BC＝CD＝2，则该四边形的面积等于()A．7B．6C．5D.解析：如图，取AB中点G，连接DG，则DG∥BC，∠AGD＝120°.分别过B，C作DG的垂线，可求得BE＝CF＝，DG＝4，所以四边形面积S＝S△AGD＋S四边形GBCD＝AG×DG×sin120°＋×(DG＋BC)×BE＝5.答案：C5．如图，在离地面高400m的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知∠BAC＝60°，则山的高度BC为()A．700mB．640mC．600mD．560m解析：根据题意，可得在Rt△AMD中，∠MAD＝45°，MD＝400，所以AM＝＝400.因为△MAC中，∠AMC＝45°＋15°＝60°，∠MAC＝180°－45°－60°＝75°，所以∠MCA＝180°－∠AMC－∠MAC＝45°，由正弦定理，得AC＝＝＝400，在Rt△ABC中，BC＝ACsin∠BAC＝400×＝600(m)．答案：C二、填空题6．(2018·福州毕业班检测)在距离塔底分别为80m,160m,240m的同一水平面上的A，B，C处，依次测得塔顶的仰角分别为α，β，γ.若α＋β＋γ＝90°，则塔高为________m.解析：本题考查三角恒等变换．设塔高为hm，则tanα＝，tanβ＝，tanγ＝.又由α＋β＋γ＝90°，得tan(α＋β)＝tan(90°－γ)＝，则＝，解得h＝80.本题的突破点是利用两角和的正切公式建立方程．答案：807．如图，一栋建筑物的高为(30－10)m，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B，M，D三点共线)处测得楼顶A，塔顶C的仰角分别为15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则通信塔CD的高为________m.解析：在Rt△ABM中，AM＝＝＝＝＝20.易知∠MAC＝30°＋15°＝45°，又∠AMC＝180°－15°－60°＝105°，从而∠ACM＝30°.在△AMC中，由正弦定理得＝，解得MC＝40.在Rt△CMD中，CD＝MC×sin60°＝60，故通信塔CD的高为60m.答案：608．(2018·惠州市第三次调研考试)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cosθ＝________.解析：由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°可得∠BDA＝30°，∠DBA＝135°，∠BDC＝90°－(15°＋θ)－30°＝45°－θ，由内角和定理可得∠DCB＝180°－(45°－θ)－45°＝90°＋θ，根据正弦定理可得＝，即DB＝100sin15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－1)，又＝，即＝，得到cosθ＝－1.答案：－1三、解答题9．(2018·河南六市联考，17)如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距...
