8.4空间中的垂直关系核心考点·精准研析考点一垂直关系的基本问题1.已知α,β表示两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β.则错误的命题为()A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④3.如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥AB,BC⊥BD,平面ABC⊥平面BCD.①AC⊥BD;②平面ABC⊥平面ABD;③平面ACD⊥平面ABD.以上结论中正确的个数有()A.1B.2C.3D.04.如图,已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论正确的是()A.PB⊥ADB.平面PAB⊥平面PBCC.直线BC∥平面PAED.直线PD与平面ABC所成的角为45°【解析】1.选B.由平面与平面垂直的判定定理知:若m为平面α内的一条直线,m⊥β,则α⊥β,反过来则不一定.所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件.2.选D.①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面.②若α⊥β,m∥α,n⊥β,则m⊥n是错误的,当m和n平行或相交(不垂直)时,也可能满足前边的条件;③若α⊥β,γ⊥β,则α∥γ,不对,垂直于同一个平面的两个平面也可以是相交的;④如果m⊥n,m⊥α,n∥β,则α⊥β是错误的,平面β和α可以相交或平行.3.选C.因为平面ABC⊥平面BCD,平面ABC∩平面BCD=BC,BC⊥BD,所以BD⊥平面ABC,又AC⊂平面ABC,所以BD⊥AC,故①正确.因为BD⊥AC,BD⊥BC,AC∩BC=C,所以BD⊥平面ABC,又因为BD⊂平面ABD,所以平面ABD⊥平面ABC,故②正确.因为AC⊥AB,BD⊥AC,AB∩BD=B,所以AC⊥平面ABD,又AC⊂平面ACD,所以平面ACD⊥平面ABD,故③正确.4.选D.若PB⊥AD,因为PA⊥平面ABC,所以PA⊥AD,所以AD⊥平面PAB,所以AD⊥AB,矛盾,所以A错误.过点A作AM垂直于PB,垂足为M,连接CM,在直角三角形PAB中,设AB=1,则PA=2,PB=,AM=,BM=,又因为AC=,所以PC=,所以cos∠PBC=-,所以CM=,所以在三角形AMC中,cos∠AMC=-,所以AM与MC不垂直,所以B错误.因为在棱锥的底面内,直线BC与直线AE相交,所以BC与平面PAE相交,所以C错误.在Rt△PAD中,PA=AD=2AB,所以∠PDA=45°.所以直线PD与平面ABC所成的角为45°.与线面垂直关系有关命题真假的判断方法(1)借助几何图形来说明线面关系要做到作图快、准,甚至无需作图通过空间想象来判断.(2)寻找反例,只要存在反例,结论就不正确.(3)反复验证所有可能的情况,必要时要运用判定或性质定理进行简单说明.【秒杀绝招】排除法解T2,选D.若m∥l,且m⊥α,则l⊥α是正确的,两平行线中的一条垂直于一个平面,另一条也垂直于这个平面,故①正确,排除A,B,C,选D.考点二空间角及其应用【典例】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=2,CC1=,二面角C1-BD-C的大小为________.2.如图,AB是☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.(1)证明:△PBC是直角三角形;(2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角的正切值为时,求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.【解题导思】序号联想解题1要求二面角,想到先作出二面角的平面角,进而设法求解.2(1)要证△PBC是直角三角形,想到证两条边垂直;(2)要求线面角,想到找到或作出角,再求解.【解析】1.如图,连接AC交BD于点O,连接C1O,因为C1D=C1B,O为BD中点,所以C1O⊥BD.因为AC⊥BD,所以∠C1OC是二面角C1-BD-C的平面角,在Rt△C1CO中,C1C=,则C1O=2,所以sin∠C1OC==,所以∠C1OC=30°.答案:30°2.(1)因为AB是☉O的直径,C是圆周上不同于A,B的一动点,所以BC⊥AC.因为PA⊥平面ABC,所以BC⊥PA,又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC,所以BC⊥PC,所以△PBC是直角三角形.(2)如图,过A作AH⊥PC于H,连接BH.因为BC⊥平面PAC,AH⊂平面PAC,所以BC⊥AH,又PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以AH⊥平面PBC,所以∠ABH是直线AB与平面PBC所成的角,因为PA⊥平面ABC,所以∠PCA即是PC与平面ABC所成的角,因为tan∠PCA==,又PA=2,所以AC=,所以在Rt△PAC中,AH==,所以在Rt△ABH中,sin∠ABH===,即直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.1.求直线与平面所成的角的一般步...
