2017春高中数学第3章不等式3.2均值不等式第3课时均值不等式的应用——最值问题课时作业新人教B版必修5基础巩固一、选择题1．已知正数x、y满足＋＝1，则xy有(C)A．最小值B．最大值16C．最小值16D．最大值[解析] x>0，y>0，∴＋≥2＝4，又 ＋＝1，∴4≤1，∴≤，∴xy≥16，故选C．2．把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个三角形的面积之和的最小值为(D)A．cm2B．4cm2C．3cm2D．2cm2[解析]设一段为acm，另一段为bcm，则a＋b＝12，两个三角形的面积和为()2＋()2＝[()2＋()2]≥·＝2，当且仅当a＝b＝6时取等号，故选D．3．若x＞0，y＞0，且x＋y≤4，则下列不等式中恒成立的是(B)A．≤B．＋≥1C．≥2D．≥1[解析]取x＝1，y＝2满足x＋y≤4排除A、C、D选B．具体比较如下： 00，b>0)，t为常数，且ab的最大值为2，则t等于(C)A．2B．4C．2D．2[解析]当a>0，b>0时，ab≤＝，当且仅当a＝b＝时取等号．因为ab的最大值为2，所以＝2，t2＝8，所以t＝＝2.故选C．6．若2x＋2y＝1，则x＋y的取值范围是(D)A．[0,2]B．[－2,0]C．[－2，＋∞)D．(－∞，－2]1[解析] 2x＋2y≥2，∴2≤1，∴2x＋y≤＝2－2，∴x＋y≤－2，故选D．二、填空题7．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C(单位：mg/L)随时间t(单位：h)的变化关系为C＝，则经过2h后池水中该药品浓度达到最大.[解析]C＝＝.因为t>0，所以t＋≥2＝4(当且仅当t＝，即t＝2时等号成立．)所以C＝≤＝5，即当t＝2时，C取得最大值．8．已知a、b为实常数，函数y＝(x－a)2＋(x－b)2的最小值为(a－b)2.[解析]从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值(留给读者完成)．但若注意到(x－a)＋(b－x)为定值，则用变形不等式≥()2更简捷．∴y＝(x－a)2＋(x－b)2≥2[]2＝.当且仅当x－a＝b－x，即x＝时，上式等号成立．∴当x＝，ymin＝.三、解答题9．已知正常数a、b和正实数x、y，满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，求a、b的值.[解析]x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)·(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝(＋)2，等号在＝即＝时成立．∴x＋y的最小值为(＋)2＝18，又a＋b＝10，∴ab＝16.∴a、b是方程x2－10x＋16＝0的两根，∴a＝2，b＝8或a＝8，b＝2.10．设x>0，y>0，且x2＋＝1，求x的最大值.[解析] x>0，y>0且x2＋＝1，∴x＝＝＝·≤·＝，当且仅当2x2＝1＋y2，即x＝，y＝时等号成立．∴x的最大值为.能力提升一、选择题1．已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则的最小值为(D)A．6B．7C．8D．9[解析] a＋b＝1，a>0，b>0，∴ab≤，等号在a＝b＝时成立．∴＝·＝·＝＝＝＋1≥＋1＝9，故选D．2．若直线2ax－by＋2＝0(a>0，b>0)被圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0截得的弦长为4，则＋的最小值为(D)A．B．2C．2D．4[解析]圆的标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝4，∴圆的直径为4，而直线被圆截得的弦长为4，则直线应过圆心(－1,2)，∴－2a－2b＋2＝0，即a＋b＝1，∴＋＝(a＋b)＝1＋1＋＋≥2＋2＝4(等号在a＝b＝时成立)．故所求最小值为4，选D．3．当x>1时，不等式x＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是(D)A．(－∞，2]B．[2，＋∞)C．[3，＋∞)D．(－∞，3][解析] x>1，∴x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3(当x＝2时等号成立)．要使x＋≥a恒成立，则须使a≤3.4．函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋2＝0上，其中m>0，n>0，则＋的最小值为(D)A．2B．4C．D．[解析] 当x＝－2时，y＝loga1－1＝－1，∴函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)． 点A在直线mx＋ny＋2＝0上，∴－2m－n＋2＝0，即2m＋n＝2. m>0，n>0，∴＋＝(2m＋n)(＋)＝(5＋＋)≥(当且仅当＝时，等号成立)．故选D．二、填空题5．某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(0
