2.1平面向量的实际背景及基本概念1.在下列判断中,正确的是(D)①长度为0的向量都是零向量;②零向量的方向都是相同的;③单位向量的长度都相等;④单位向量都是同方向;⑤任意向量与零向量都共线.(A)①②③(B)②③④(C)①②⑤(D)①③⑤解析:由定义知①正确,②由于零向量的方向是任意的,故两个零向量的方向是否相同不确定,故不正确.显然,③⑤正确,④不正确,故选D.2.如图,在矩形ABCD中,可以用同一条有向线段表示的向量是(B)(A)和(B)和(C)和(D)和解析:易知=,故选B.3.如图,在圆O中,向量,,是(C)(A)有相同起点的向量(B)单位向量(C)模相等的向量(D)相等的向量解析:,,的模相等,故选C.14.已知点O固定,且||=2,则A点构成的图形是(C)(A)一个点(B)一条直线(C)一个圆(D)不能确定解析:因为||=2,所以终点A到起点O的距离为2,又因为O点固定,所以A点的轨迹是以O为圆心,2为半径的圆.故选C.5.四边形ABCD中,=2,则四边形ABCD为(C)(A)平行四边形(B)矩形(C)梯形(D)菱形解析:因为=2,所以AB∥DC且AB≠DC,所以四边形ABCD为梯形.故选C.6.设a0为单位向量,①若a为平面内的某个向量,则a=|a|a0;②若a与a0平行,则a=|a|a0;③若a与a0平行且|a|=1,则a=a0.上述结论中,不正确结论的个数是(D)(A)0(B)1(C)2(D)3解析:向量是既有大小又有方向的量,a与|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①错误;若a与a0平行,则a与a0的方向有两种情况:一是同向,二是反向,反向时a=-|a|a0,故②③错误.综上所述,不正确结论的个数是3.故选D.7.如图,等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在两腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则(D)(A)=(B)=(C)=(D)=解析:由平面几何知识知,与方向不同,故≠;与方向不同,故≠;与2模相等而方向相反,故≠;与模相等且方向相同,所以=.故选D.8.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a是非零向量,则下列说法中错误的是(B)(A)CA(B)A∩B={a}(C)CB(D)A∩B{a}解析:与a共线且长度相等的向量也包含与a方向相反的向量,故B错误.故选B.9.如图,平行四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,则以A,B,C,D,E,F这六个点中任意两点分别作为起点和终点的所有向量中,与向量方向相反的向量是.解析:与方向相反的向量是,,.答案:,,10.A地位于B地正西方向5km处,C地位于A地正北方向5km处,则C地相对于B地的位移是.解析:因为△ABC构成等腰直角三角形,所以C地相对于B地的位移是西北方向5km处.答案:西北方向5km处11.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a∥b成立的是.(填序号)解析:相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的向量一定是共线向量,③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.答案:①③④12.如图,四边形ABCD是边长为3的正方形,把各边三等分后,共有16个交点,从中选取两个交点分别作为向量的始点和终点,则与平行且长度为2的向量个数是.3解析:如图所示,满足条件的向量有,,,,,,,,共8个.答案:813.四边形ABCD是任意四边形,边AD,BC的中点分别为E,F,延长AF到G,使F恰为AG的中点,连接BG,CG,DG,AC.(1)试找出与相等的向量;(2)试找出与相等的向量;(3)试找出与共线的向量.解:(1)F是AG和BC的中点,所以四边形ABGC是平行四边形.故=.(2)由(1)知四边形ABGC是平行四边形,所以=.(3)因为E为AD的中点,F是AG的中点,所以EF为△ADG的中位线,EF∥DG,所以与共线的向量有,和.14.如图的方格由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有定点A,点C为小正方4形的顶点,且||=,画出所有的向量.解:共有8个向量满足条件,如图.15.民间流传的一种智力玩具七巧板是将一块正方形切割为五个等腰直角三角形和一个正方形、一个平行四边形,如图所示.试写出图中与模长相等的向量.解:与模长相等的向量有,,,,,,,,共9个.16.四边形ABCD,CEFG,CGHD都是全等的菱形,HE与CG相交于点M,则下列关系不一定成立的是(C)(A)||=||(B)与共线5(C)与共线(D)与共线解析:因为三个四边形都是菱形,所以||=||,AB∥CD∥FH,故与共线.又三点D,C,E共线,所以与共线,故A,B,D都正确.当菱形ABCD与其他两个菱形不共面时,BD与EH异面.故选C.17.若a为任一非零向量,b为单位向量,下列各式:①|a|>|b|;②a∥b;③|a|>0;④|b|...
