§9.6圆锥曲线的综合问题基础篇固本夯基【基础集训】考点一曲线与方程1.设k>1,则关于x,y的方程(1-k)x2+y2=k2-1所表示的曲线是()A.长轴在x轴上的椭圆B.长轴在y轴上的椭圆C.实轴在x轴上的双曲线D.实轴在y轴上的双曲线答案D2.已知A(-1,0),B(1,0)两点,过动点M作x轴的垂线,垂足为N,若⃗MN2=λ⃗AN·⃗NB,则当λ<0时,动点M的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线答案C3.设三个数√(x-√2)2+y2,√3,√(x+√2)2+y2成等差数列,记(x,y)对应点的曲线是C.求曲线C的方程.解析依题意得√(x-√2)2+y2+√(x+√2)2+y2=2√3,所以点P(x,y)到点M(√2,0)与点N(-√2,0)的距离之和为2√3,注意到|MN|=2√2<2√3,所以点P的轨迹是以M,N为焦点的椭圆,所对应的椭圆中{a=√3,c=√2,故b=1,故曲线C的方程为x23+y2=1.4.已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C.求C的方程.解析由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1;圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3.设圆P的圆心为P(x,y),半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切,所以|PM|+|PN|=(R+r1)+(r2-R)=r1+r2=4>|MN|.由椭圆的定义可知,曲线C是以M、N为左、右焦点,长半轴长为2,短半轴长为√3的椭圆(左顶点除外),其方程为x24+y23=1(x≠-2).考点二定点与定值问题5.已知抛物线y2=4x上的两点A,B,O为坐标原点,且OA⊥OB,A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2的值是()A.4B.8C.12D.16答案D6.已知直线l与双曲线x24-y2=1相切于点P,l与双曲线的两条渐近线交于M,N两点,则⃗OM·⃗ON的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关答案A7.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),四点P1(1,1),P2(0,1),P3(-1,√32),P4(1,√32)中恰有三点在椭圆C上.(1)求C的方程;(2)设直线l不经过P2点且与C相交于A,B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为-1,证明:l过定点.解析本题考查了圆锥曲线的方程以及圆锥曲线与直线位置关系中的定点问题.1(1)由于P3,P4两点关于y轴对称,故由题设知C经过P3,P4两点.又由1a2+1b2>1a2+34b2知,C不经过点P1,所以点P2在C上.因此{1b2=1,1a2+34b2=1,解得{a2=4,b2=1.故C的方程为x24+y2=1.(2)设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1,k2.如果l与x轴垂直,设l:x=t,由题设知t≠0,且|t|<2,可得A,B的坐标分别为(t,√4-t22),(t,-√4-t22).则k1+k2=√4-t2-22t-√4-t2+22t=-1,得t=2,不符合题设.从而可设l:y=kx+m(m≠1).将y=kx+m代入x24+y2=1得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0.由题设可知Δ=16(4k2-m2+1)>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1.而k1+k2=y1-1x1+y2-1x2=kx1+m-1x1+kx2+m-1x2=2kx1x2+(m-1)(x1+x2)x1x2,由题设k1+k2=-1,故(2k+1)x1x2+(m-1)(x1+x2)=0.即(2k+1)·4m2-44k2+1+(m-1)·-8km4k2+1=0.解得k=-m+12.当且仅当m>-1时,Δ>0,于是l:y=-m+12x+m,即y+1=-m+12(x-2),所以l过定点(2,-1).2方法总结求解轨迹方程的步骤:①建系、设点→②列式(列出动点所满足的几何等量关系式)→③坐标化(选用合适的公式表示几何等量关系)→④化简(注意化简前后的等价性)→⑤检验(去伪存真).考点三最值与范围问题8.若a>1,则双曲线x2a2-y2=1的离心率的取值范围是()A.(√2,+∞)B.(√2,2)C.(1,√2)D.(1,2)答案C9.已知双曲线x23-y2=1的左、右焦点分别为F1、F2,P为双曲线右支上一点,点Q的坐标为(-2,3),则|PQ|+|PF1|的最小值为.答案5+2√310.已知F是双曲线C:x2-y28=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6√6).当△APF周长最小时,该三角形的面积为.答案12√6考点四存在性问题11.(2019辽宁抚顺模拟,21)已知定点C(-1,0)及椭圆x2+3y2=5,过点C的动直线与椭圆相交于A,B两点.(1)若线段AB中点的横坐标是-12,求直线AB的方程;(2)在x轴上是否存在点M,使⃗MA·⃗MB为常数?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解析(1)依题意,直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=k(x+1),将y=k(x+1)代入椭圆方程x2+3y2=5,消去y整理得(3k2+1)x2+6k2x+3k2-5=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则{Δ=36k4-4(3k2+1)(3k2-5)>0,①x1+x2=-6k23k2+1.②由线段AB中点的横坐标是-12,得x1+x22=-3k23k2+1=-12,解得k=±√33,适合①,所以直线AB的方程为x-√3y+1=0或x+√3y+1=0.(2)假设在x轴上存在点M(m,0),使⃗MA·⃗MB为常数.①当直线AB与x轴不垂直时,由(1)...
