（浙江专用）高考数学二轮复习 专题2.3 平面向量精练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第3讲平面向量(建议用时：60分钟)一、选择题1．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB同方向的单位向量为()．A.B.C.D.解析AB＝OB－OA＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与AB同方向的单位向量为＝.答案A2．(2015·安徽卷)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论正确的是()．A．|b|＝1B．a⊥bC．a·b＝1D．(4a＋b)⊥BC解析由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴(AB＋AC)·(AB－AC)＝0，即(AB＋AC)·CB＝0，∴(4a＋b)⊥CB，故选D.答案D3．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为()．A.B．2C．5D．10解析因为AC·BD＝0，所以AC⊥BD.所以四边形ABCD的面积S＝|AC||BD|＝××2＝5.答案C4．已知向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则|b|等于()．A．5B．4C．3D．1解析向量a与b的夹角为120°，|a|＝3，|a＋b|＝，则a·b＝|a||b|·cos120°＝－|b|，|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.所以13＝9－3|b|＋|b|2，则|b|＝－1(舍去)或|b|＝4.答案B5．已知非零向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，向量a与b的夹角为60°，且|a|＝|b|＝1，则向量a与c的夹角为()．A．30°B．60°C．120°D．150°解析因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以|c|2＝(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝2＋2cos60°＝3.所以|c|＝.又c·a＝－(a＋b)·a＝－a2－a·b＝－1－cos60°＝－，设向量c与a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又0°≤θ≤180°，所以θ＝150°.答案D6．(2015·舟山一模)△ABC中D为BC边的中点，已知AB＝a，AC＝b，则在下列向量中与AD同1向的向量是()．A.＋B.－C.D．|b|a＋|a|b解析 AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)，∴向量与向量AD是同向向量．答案C7．(2015·福建卷)已知AB⊥AC，|AB|＝，|AC|＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且AP＝＋，则PB·PC的最大值等于()．A．13B．15C．19D．21解析建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，AB＝，AC＝(0，t)，AP＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，PB·PC＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，故选A.答案A二、填空题8．(2015·江苏卷)已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________．解析 a＝(2,1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案－39．设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为，若a＝e1＋3e2，b＝2e1，则向量a在b方向上的射影为________．解析a在b方向上的射影为|a|cos〈a，b〉＝. a·b＝(e1＋3e2)·2e1＝2e＋6e1·e2＝5.|b|＝|2e1|＝2.∴＝.答案10．已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则AE·BD＝________.解析由题意知：AE·BD＝(AD＋DE)·(AD－AB)＝(AD＋AB)·(AD－AB)＝AD2－AD·AB－AB2＝4－0－2＝2.答案211．(2014·山东卷)在△ABC中，已知AB·AC＝tanA，当A＝时，△ABC的面积为________．解析已知A＝，由题意得|AB|·|AC|cos＝tan，|AB||AC|＝，所以△ABC的面积S＝|AB|·|AC|sin＝××＝.答案212．(2014·湖南卷)在平面直角坐标系中，O为原点，A(－1,0)，B(0，)，C(3,0)，动点D满足|CD|＝1，则|OA＋OB＋OD|的最大值是________．解析设出点D的坐标，求出点D的轨迹后求解．设D(x，y)，由CD＝(x－3，y)及|CD|＝1知(x－3)2＋y2＝1，即动点D的轨迹为以点C为圆心的单位圆．又OA＋OB＋OD＝(－1,0)＋(0，)＋(x，y)＝(x－1，y＋)，∴|OA＋OB＋OC|＝.问题转化为圆(x－3)2＋y2＝1上的点与点P(1，－)间距离的最大值． 圆心C(3,0)与点P(1，－)之间的距离为＝，故的最大值为＋1.答案＋1三、解答题13．(2015·广东卷)在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝，n＝(sinx，cosx)，x∈.(1)若m⊥n，求tanx的值．(2)若m与n的夹角为，求x的值．解(1)因为m＝，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.所以m·n＝0，即sinx－cosx＝0，所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，即sinx－cosx＝，所以sin＝，因为0