2017春高中数学第1章解三角形1.2应用举例第2课时高度、角度问题课时作业新人教A版必修5基础巩固一、选择题1．某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长(A)A．100mB．100mC．50(＋)mD．200m[解析]如图，由条件知，AD＝100sin75°＝100sin(45°＋30°)＝100(sin45°cos30°＋cos45°sin30°)＝25(＋)，CD＝100cos75°＝25(－)，BD＝＝＝25(3＋)．∴BC＝BD－CD＝25(3＋)－25(－)＝100(m)．2．要测量底部不能到达的电视塔AB的高度，在C点测得塔顶A的仰角是45°，在D点测得塔顶A的仰角是30°，并测得水平面上的∠BCD＝120°，CD＝40m，则电视塔的高度为(D)A．10mB．20mC．20mD．40m[解析]设AB＝xm，则BC＝xm，BD＝xm，在△BCD中，由余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos120°，∴x2－20x－800＝0，∴x＝40(m)．3．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是(A)A．minB．hC．21.5minD．2.15h1[解析]当时间t<2.5h时，如图．∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝＝(h)，即min时，CD2最小，即CD最小为.当t≥2.5h时，CF＝15×，CF2＝>CD2，故距离最近时，t<2.5h，即t＝min.4．为了测某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼顶处测得塔顶的仰角为30°，塔基的俯角为45°，那么塔AB的高度为(A)A．20(1＋)mB．20(1＋)mC．20(1＋)mD．30m[解析]如图，作CE⊥AB，则由条件知CE＝20，∠BCE＝30°，∠ACE＝45°，∴BE＝CE·tan30°＝，AE＝CE＝20，∴AB＝20(1＋)，故选A．5．江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距(D)A．10mB．100mC．20mD．30m[解析]设炮塔顶A、底D，两船B、C，则∠ABD＝45°，∠ACD＝30°，∠BDC＝30°，AD＝30，∴DB＝30，DC＝30，BC2＝DB2＋DC2－2DB·DC·cos30°＝900，∴BC＝30.26．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1000m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为(D)A．500mB．200mC．1000mD．1000m[解析] ∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝＝＝1000，∴BC＝AB·sin45°＝1000×＝1000(m)．二、填空题7．某海岛周围42nmile有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30nmile后测得此岛在东北方向，若不改变航向，则此船有触礁危险(填“有”或“无”).[解析]如图所示，由题意在△ABC中，AB＝30，∠BAC＝30°，∠ABC＝135°，∴∠ACB＝15°，由正弦定理，得BC＝＝＝＝15(＋)．在Rt△BDC中，CD＝BC＝15(＋1)<42.∴此船有触礁的危险．8．甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，乙船正以anmile/h的速度向北行驶．已知甲船的速度是anmile/h，问甲船应沿着北偏东30°方向前进，才能最快与乙船相遇？[解析]如图，设经过th两船在C点相遇，3则在△ABC中，BC＝at，AC＝at，B＝180°－60°＝120°，由＝，得sin∠CAB＝＝＝. 0°<∠CAB<90°，∴∠CAB＝30°，∴∠DAC＝60°－30°＝30°.即甲船应沿北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．三、解答题9．(2015·南京市、盐城市二模)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosC＝.(1)若CB·CA＝，求△ABC的面积；(2)设向量x＝(2sin，)，y＝(cosB，cos)，且x∥y，求sin(B－A)的值．[解析](1)由CB·CA＝得abcosC＝.又因为cosC＝，所以ab＝＝.又C为△ABC的内角，所以sinC＝.所以△ABC的面积S＝absinC＝3.(2)因为x∥y，所以2sincos＝cosB，即sinB＝cosB，因为cosB≠0，所以tanB＝.因为B为三角形的内角，所以B＝.所以A＋C＝，所以A＝－C．所以sin(B－A)＝sin(－A)＝sin(C－)＝sinC－cosC＝×－×＝.10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距A处(－1)nmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A处2nmile的C处的缉私船...
