单元质检五平面向量与复数(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2018全国3)(1+i)(2-i)=()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案D2.(2017浙江诸暨调研)在△ABC中,点D在BC边上,且⃗CD=2⃗DB,⃗CD=r⃗AB+s⃗AC,则r+s等于()A.23B.43C.-3D.0答案D3.(2018全国2)1+2i1-2i=()A.-45−35iB.-45+35iC.-35−45iD.-35+45i答案D4.已知a,b是任意的两个向量,则下列关系式中不恒成立的是()A.|a|+|b|≥|a-b|B.|a·b|≤|a|·|b|C.(a-b)2=a2-2a·b+b2D.(a-b)3=a3-3a2·b+3a·b2-b3答案D5.(2017浙江绍兴期中)已知|a|=2,|b|=3,(2a+b)⊥(a-2b),则向量b在向量a方向上的投影为()A.-53B.54C.-56D.56答案A6.(2018天津高考)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,⃗BM=2⃗MA,⃗CN=2⃗NA,则⃗BC·⃗OM的值为()1A.-15B.-9C.-6D.0答案C解析连接MN, ⃗BM=2⃗MA,⃗CN=2⃗NA,∴⃗AC=3⃗AN,⃗AB=3⃗AM.∴⃗BC=⃗AC−⃗AB=3(⃗AN−⃗AM)=3⃗MN=3(⃗ON−⃗OM). OM=1,ON=2,∠MON=120°,∴⃗BC·⃗OM=3(⃗ON−⃗OM)·⃗OM=3(⃗ON·⃗OM-|⃗OM|2)=3[2×1×(-12)-1]=-6.7.已知O为△ABC内一点,且满足⃗OA+λ⃗OB+(λ-1)·⃗OC=0.若△OAB的面积与△OAC的面积比值为13,则λ的值为()A.32B.2C.13D.12答案A解析 ⃗OA+λ⃗OB+(λ-1)⃗OC=0,∴λ(⃗OB+⃗OC)=⃗OC−⃗OA=⃗AC.取BC的中点D,AB的中点E,连接DE,则2λ⃗OD=⃗AC.∴O在线段DE上,且2λOD=AC=2DE,∴λ=DEOD,连接AD.设OD=1,则DE=λ,∴OE=λ-1. S△AOBS△ABD=OEDE=λ-1λ,S△ABD=S△ADC=S△AOC=12S△ABC,∴S△AOBS△AOC=λ-1λ=13,解得λ=32.故选A.8.已知向量a,b,c满足|a|=2,|b|=a·b=3,若(c-2a)·(c-23b)=0,则|b-c|的最小值是()A.2+√3B.2-√3C.1D.2答案B解析 |a|=2,|b|=a·b=3,则b=(3,0)或b=(-32,3√32).∴设a=(1,√3),b=(3,0),c=(x,y),2由(c-2a)·(c-23b)=0,得(x-2)2+(y-√3)2=3.∴c的终点在以(2,√3)为圆心,以√3为半径的圆上,∴|b-c|的最小值为√(2-3)2+(√3-0)2−√3=2-√3.同理,当b=(-32,3√32)时,|b-c|的最小值也是2-√3.故选B.9.已知G是△ABC的重心,过点G作直线MN与AB,AC交于点M,N,且⃗AM=x⃗AB,⃗AN=y⃗AC(x,y>0),则3x+y的最小值是()A.83B.72C.52D.43+23√3答案D解析如图, M,N,G三点共线,∴⃗MG=λ⃗GN,∴⃗AG−⃗AM=λ(⃗AN−⃗AG), G是△ABC的重心,∴⃗AG=13¿).∴13¿)-x⃗AB=λ[y⃗AC-13(⃗AB+⃗AC)],∴{13-x=-13λ,13=λy-13λ,解得(3x-1)(3y-1)=1;结合图形可知12≤x≤1,12≤y≤1;令3x-1=m,3y-1=n12≤m≤2,12≤n≤2;故mn=1,x=1+m3,y=1+n3;故3x+y=1+m+1+n3=43+m+n3≥43+2√13mn=43+2√33,当且仅当m=√33,n=√3时等号成立.故选D.310.如图,在△ABC中,已知⃗BD=12⃗DC,P为AD上一点,且满足⃗CP=m⃗CA+49⃗CB,若△ABC的面积为√3,∠ACB=π3,则|⃗CP|的最小值为()A.163B.169C.83D.43答案D解析过P点分别作PM∥BC交AC于点M,PN∥AC交BC于点N,则⃗CM=m⃗CA,⃗CN=49⃗CB,因为|PM||DC|=|AM||AC|,所以求出m=13,设|⃗CA|=b,|⃗CB|=a,则由三角形面积公式有12ab×√32=√3,即ab=4,而⃗CP=13⃗CA+49⃗CB,则⃗CP2=19b2+1681a2+1627≥2√19×1681a2b2+1627=169,故|⃗CP|的最小值为43,故选D.二、填空题(本大题共7小题,多空题每小题6分,单空题每小题4分,共36分.将答案填在题中横线上)11.已知向量a,b满足|a|=2,|b|=1,a,b的夹角为π3,则|a+2b|=;a与a-2b的夹角为.答案2√3π312.(2017浙江绍兴)若复数z=4+3i,其中i是虚数单位,则|z|=,1+iz=.答案57+i2513.(2017浙江杭州调研)已知复数z=x+yi,其中x,y∈R,且|z-2|=√3,则yx的最大值为,最小值为.答案√3-√314.设e1,e2为单位向量,且e1,e2的夹角为60°,若a=e1+3e2,b=2e1,则|a+b|等于,向量a在b方向上的投影为.4答案3√35215.△ABC中,cosA=13,AB=2,则⃗CA·⃗CB的最小值是.答案-1916.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,c-b=6,c+b-a=2,且O为此三角形的内心,则⃗AO·⃗CB=.答案6解析过O作OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,则⃗AO·⃗CB=⃗AO·(⃗AB−⃗AC)=⃗AO·⃗AB−⃗AO·⃗AC=|AD|·|AB|-|AE|·|AC|,因为O为△ABC的内心,所以|AD|·|AB|-|AE|·|AC|=|AD|·c-|...
