（江苏专用）高考数学一轮复习 专题探究课二习题 理 新人教A版-新人教A版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【创新设计】（江苏专用）2017版高考数学一轮复习专题探究课二习题理新人教A版1.已知函数f(x)＝lnx＋x2＋ax(a∈R).若函数f(x)在其定义域上为增函数，求a的取值范围.解法一函数f(x)的定义域为(0，＋∞)， f(x)＝lnx＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a. 函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f′(x)≥0，即＋2x＋a≥0对x∈(0，＋∞)都成立.∴－a≤＋2x对x∈(0，＋∞)都成立. 当x＞0时，＋2x≥2＝2，当且仅当＝2x，即x＝时取等号.∴－a≤2，即a≥－2.∴a的取值范围为[－2，＋∞).法二函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，∴f(x)＝lnx＋x2＋ax，∴f′(x)＝＋2x＋a＝.方程2x2＋ax＋1＝0的判别式Δ＝a2－8.①当Δ≤0，即－2≤a≤2时，2x2＋ax＋1≥0，此时，f′(x)≥0对x∈(0，＋∞)都成立，故函数f(x)在定义域(0，＋∞)上是增函数.②当Δ＞0，即a＜－2或a＞2时，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)上为增函数，只需2x2＋ax＋1≥0对x∈(0，＋∞)都成立.设h(x)＝2x2＋ax＋1，则解得a＞0.故a＞2.综合①②得a的取值范围为[－2，＋∞).2.(2016·苏北四市调研)设f(x)＝ax3＋bx＋c(a≠0)为奇函数，其图象在点(1，f(1))处的切线与直线x－6y－7＝0垂直，导函数f′(x)的最小值为－12.(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)的单调增区间，并求函数f(x)在[－1，3]上的最大值和最小值.解(1)因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)即－ax3－bx＋c＝－ax3－bx－c所以c＝0，又f′(x)＝3ax2＋b的最小值为－12，所以b＝－12.由题设知f′(1)＝3a＋b＝－6.所以a＝2，故f(x)＝2x3－12x.(2)f′(x)＝6x2－12＝6(x＋)(x－).当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况表如下：1x(－∞，－)－(－，)(，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)极大值极小值所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞).因为f(－1)＝10，f(3)＝18，f()＝－8，f(－)＝8，当x＝时，f(x)min＝－8；当x＝3时，f(x)max＝18.3.(2015·莱州一中模拟)已知f(x)＝xlnx，g(x)＝x3＋ax2－x＋2.(1)如果函数g(x)的单调递减区间为，求函数g(x)的解析式；(2)对任意x∈(0，＋∞)，2f(x)≤g′(x)＋2恒成立，求实数a的取值范围.解(1)g′(x)＝3x2＋2ax－1由题意3x2＋2ax－1＜0的解集是，即3x2＋2ax－1＝0的两根分别是－，1.将x＝1或－代入方程3x2＋2ax－1＝0，得a＝－1.所以g(x)＝x3－x2－x＋2.(2)由题意2xlnx≤3x2＋2ax－1＋2在x∈(0，＋∞)上恒成立，可得a≥lnx－x－，设h(x)＝lnx－x－，则h′(x)＝－＋＝－，令h′(x)＝0，得x＝1或－(舍)，当0＜x＜1时，h′(x)＞0，当x＞1时，h′(x)＜0，所以当x＝1时，h(x)取得最大值h(x)max＝－2，所以a≥－2，所以a的取值范围是[－2，＋∞).4.(2015·全国Ⅰ卷)设函数f(x)＝e2x－alnx.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.(1)解f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x＞0).当a≤0时，f′(x)＞0，f′(x)没有零点；当a＞0时，因为y＝e2x在(0，＋∞)上单调递增，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)单调递增.2又f′(a)＞0，当b满足0＜b＜且b＜时，f′(b)＜0，故当a＞0时，f′(x)存在唯一零点.(2)证明由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0).由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝e2x0－alnx0＝－aln＝－aln＋2ax0＝＋2ax0＋aln≥2a＋aln.故当a＞0时，f(x)≥2a＋aln.5.(2015·广东卷)设a>1，函数f(x)＝(1＋x2)ex－a.(1)求f(x)的单调区间；(2)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上仅有一个零点；(3)若曲线y＝f(x)在点P处的切线与x轴平行，且在点M(m，n)处的切线与直线OP平行(O是坐标原点)，证明：m≤－1.(1)解f′(x)＝2xex＋(1＋x2)ex＝(x2＋2x＋1)ex＝(x＋1)2ex，∀x∈R，f′(x)≥0恒成立.∴f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞).(2)证明 f(0)＝1－a，f(a)＝(1＋a2)ea－a， a>1，∴f(0)<0，f(a)>2aea－a>2a－a＝a>0，∴f(0)·f(a)<0，∴f(x)在(0，a)上有一零点，又 f(x)在(－∞，＋∞)上递增，∴f(x)在(0，a)上仅有一个零点，∴f(x)在(－∞，＋...