习题课一、基础过关1．复数z＝的共轭复数是________．2．若z＝，那么z100＋z50＋1的值是_______．3．复数z＝－1.在复平面内，z所对应的点在第______象限．4．已知z＝(2－i)3，则z·＝________.5．复平面内点A、B、C对应的复数分别为i、1、4＋2i，由A→B→C→D按逆时针顺序作平行四边形ABCD，则|BD|等于________．6．已知复数z＝，其中i是虚数单位，则|z|＝________.7．已知(a－i)2＝2i，那么实数a＝_______.二、能力提升8．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是________．9．已知a∈R，z＝(a2－2a＋4)－(a2－2a＋2)i所对应的点在第几象限？复数z对应的点的轨迹是什么？10．设复数z＝，若z2＋a·z＋b＝1＋i，求实数a，b的值．11．在复平面内，O是原点，向量OA对应的复数是2＋i.(1)如果点A关于实轴的对称点为B，求向量OB对应的复数；(2)如果(1)中点B关于虚轴的对称点为C，求点C对应的复数．三、探究与拓展12．是否存在复数z，使其满足·z＋2i＝3＋ai？如果存在，求实数a的取值范围；如果不存在，请说明理由．1答案1.2．i3．二4．1255.6.7．－18．49．解由a2－2a＋4＝(a－1)2＋3≥3，－(a2－2a＋2)＝－(a－1)2－1≤－1，∴复数z的实部为正数，虚部为负数，因此，复数z的对应点在第四象限．设z＝x＋yi(x、y∈R)，则消去a2－2a得：y＝－x＋2(x≥3)．∴复数z的对应点的轨迹是一条射线，方程为y＝－x＋2(x≥3)．10．解z＝＝＝＝＝1－i.因为z2＋a·z＋b＝1＋i，所以(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i.所以(a＋b)－(a＋2)i＝1＋i.所以解得a＝－3，b＝4.即实数a，b的值分别是－3,4.11．解(1)设所求向量OB对应的复数为z1＝a＋bi(a，b∈R)，则点B的坐标为(a，b)．已知A(2,1)，由对称性可知a＝2，b＝－1.所以OB对应的复数为z1＝2－i.(2)设所求点C对应的复数为z2＝c＋di(c，d∈R)，则C(c，d)．由(1)，得B(2，－1)．由对称性可知，c＝－2，d＝－1.故点C对应的复数为z2＝－2－i.12．解设z＝x＋yi(x，y∈R)，则原条件等式可化为x2＋y2＋2i(x－yi)＝3＋ai.由复数相等的充要条件，得消去x，得y2＋2y＋－3＝0.所以当Δ＝4－4＝16－a2≥0，即－4≤a≤4时，复数z存在．故存在满足条件的复数z，实数a的取值范围为－4≤a≤4.2
